(a) Calcular integral duplaD x^2y^2 d A, onde D é limitada por x=2, y=x e pela curva y=1x, x>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de x^2y^2 sobre a região D. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente integral dupla. Para resolver, vamos precisar entender bem como é a região D que está delimitada pelas curvas x=2, y=x e y=1x com x > 0.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região D. Imagine um gráfico onde o eixo horizontal é o x e o vertical é o y. Temos três limites:
  1. A reta vertical x = 2.
  2. A reta y = x.
  3. A curva hiperbólica y = 1x para x > 0.
Vamos encontrar os pontos onde essas curvas se encontram para definir bem nossa região.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas:
  • Entre y = x e y = 1x: x = 1x implies x^2 = 1 implies x = 1 (como x > 0) Então, elas se encontram no ponto (1, 1).
  • Entre y = x e x = 2: y = 2 Então, ponto de interseção em (2, 2).
  • Entre y = 1x e x = 2: y = 12 Ponto de interseção em (2, 12).

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar a região D. Ela é limitada por:
  • À esquerda: x = 1 (de onde começam as interseções).
  • À direita: x = 2.
  • De baixo: y = 1x.
  • De cima: y = x.

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla. Para isso, escolhemos a ordem de integração. Vou optar por integrar primeiro em y e depois em x. Assim, para cada x entre 1 e 2, y varia de 1x até x. A integral fica:
integral duplaD x^2y^2 , dA = integralx=1^2 ( integraly=1x^x x^2y^2 , dy ) dx

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar x^2y^2 em relação a y:
integral x^2y^2 , dy = x^2 integral y^-2 , dy = x^2 ( y^-1-1 ) + C = -x^2y + C

Passo 7

Aplicando os limites de y de 1x a x:
-x^2y |1x^x = -x^2x + x^21x = -x + x^3

Passo 8

Agora, substituímos na integral externa:
integral1^2 (-x + x^3) , dx = integral1^2 (-x) , dx + integral1^2 x^3 , dx

Passo 9

Vamos calcular cada parte separadamente:
  • Para integral (-x) , dx: -x^22 |1^2 = -42 + 12 = -2 + 0,5 = -1,5
  • Para integral x^3 , dx: x^44 |1^2 = 164 - 14 = 4 - 0,25 = 3,75

Passo 10

Somando os dois resultados:
-1,5 + 3,75 = 2,25

Resposta

A integral dupla integral duplaD x^2y^2 , dA vale 2,25.

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