Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região . A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente integral dupla. Para resolver, vamos precisar entender bem como é a região que está delimitada pelas curvas , e com .
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . Imagine um gráfico onde o eixo horizontal é o e o vertical é o . Temos três limites:
A reta vertical .
A reta .
A curva hiperbólica para .
Vamos encontrar os pontos onde essas curvas se encontram para definir bem nossa região.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas:
Entre e :Então, elas se encontram no ponto .
Entre e :Então, ponto de interseção em .
Entre e :Ponto de interseção em .
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar a região . Ela é limitada por:
À esquerda: (de onde começam as interseções).
À direita: .
De baixo: .
De cima: .
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla. Para isso, escolhemos a ordem de integração. Vou optar por integrar primeiro em e depois em . Assim, para cada entre 1 e 2, varia de até . A integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a :