Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla . Esse problema está relacionado ao estudo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, e envolve o uso de técnicas de cálculo para integrar funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como lidar com a função valor absoluto e como dividir a região de integração para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que vamos integrar: . O valor absoluto significa que a expressão dentro dele será sempre não negativa, mas para integrar essa função, é útil dividir a região de integração em partes onde é positivo e onde é negativo. Ou seja, vamos considerar os casos onde e .
Passo 3
Vamos desenhar a região de integração no plano , onde e variam de 0 a 1. A linha divide o quadrado unitário em duas regiões iguais:
Região onde : acima da linha .
Região onde : abaixo da linha .
Isso nos permite reescrever a integral como a soma de duas integrais, uma sobre cada região.
Passo 4
Reescrevemos a integral original como:
Aqui, para , , e para , .
Passo 5
Calculamos a primeira integral:
Integrando em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Passo 6
Calculamos a segunda integral:
integral0^1 integraly^1 (x - y) , dx , dy
Integrando em relação a integraly^1 (x - y) , dx = x^22 - yx g|y^1 = (12 - y) - (y^22 - y^2) = 12 - y - y^22 + y^2 = 12 - y + y^22 :