Calcular as seguintes integrais:
integral0^1 integral0^1|x-y| d x d y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla . Esse problema está relacionado ao estudo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, e envolve o uso de técnicas de cálculo para integrar funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como lidar com a função valor absoluto e como dividir a região de integração para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que vamos integrar: . O valor absoluto significa que a expressão dentro dele será sempre não negativa, mas para integrar essa função, é útil dividir a região de integração em partes onde é positivo e onde é negativo. Ou seja, vamos considerar os casos onde e .

Passo 3

Vamos desenhar a região de integração no plano , onde e variam de 0 a 1. A linha divide o quadrado unitário em duas regiões iguais:
  1. Região onde : acima da linha .
  2. Região onde : abaixo da linha .
Isso nos permite reescrever a integral como a soma de duas integrais, uma sobre cada região.

Passo 4

Reescrevemos a integral original como:
integral0^1 integral0^1 |x - y| , dx , dy = integral0^1 integral0^y (y - x) , dx , dy + integral0^1 integraly^1 (x - y) , dx , dy
Aqui, para , , e para , .

Passo 5

Calculamos a primeira integral:
integral0^1 integral0^y (y - x) , dx , dy
Integrando em relação a integral0^y (y - x) , dx = yx - x^22 g|0^y = y^2 - y^22 = y^22 :
integral0^1 y^22 , dy = 12 cdot y^33 g|0^1 = 12 cdot 13 = 16
Agora, integramos em relação a :

Passo 6

Calculamos a segunda integral:
integral0^1 integraly^1 (x - y) , dx , dy
Integrando em relação a integraly^1 (x - y) , dx = x^22 - yx g|y^1 = (12 - y) - (y^22 - y^2) = 12 - y - y^22 + y^2 = 12 - y + y^22 :
integral0^1 (12 - y + y^22) , dy = 12y - y^22 + y^36 g|0^1 = 12 - 12 + 16 = 16
Agora, integramos em relação a :

Passo 7

Somamos os resultados das duas integrais:
16 + 16 = 26 = 13

Resposta

O valor da integral dupla é .

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