Calcular as seguintes integrais:
.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla . Esse problema está relacionado ao estudo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, e envolve o uso de técnicas de cálculo para integrar funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como lidar com a função valor absoluto e como dividir a região de integração para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que vamos integrar: . O valor absoluto significa que a expressão dentro dele será sempre não negativa, mas para integrar essa função, é útil dividir a região de integração em partes onde é positivo e onde é negativo. Ou seja, vamos considerar os casos onde e .

Passo 3

Vamos desenhar a região de integração no plano , onde e variam de 0 a 1. A linha divide o quadrado unitário em duas regiões iguais:
  1. Região onde : acima da linha .
  2. Região onde : abaixo da linha .
Isso nos permite reescrever a integral como a soma de duas integrais, uma sobre cada região.

Passo 4

Reescrevemos a integral original como:
Aqui, para , , e para , .

Passo 5

Calculamos a primeira integral:
Integrando em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Passo 6

Calculamos a segunda integral:
Integrando em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Passo 7

Somamos os resultados das duas integrais:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

(a) Calcular , onde é limitada por e pela curva .
Calcular as seguintes integrais:
.
Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.

.
Calcule as integrais, para as regiões indicadas.
, onde é limitada por e .