Calcular as seguintes integrais:
.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para calcular a integral dupla
. Isso está dentro do tema de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais duplas e funções absolutas. Para resolver, vamos precisar entender como a função
se comporta na região de integração e dividir essa região de acordo com onde a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
e
variando de
a
, formando um quadrado no plano cartesiano. A função que estamos integrando é
, que depende da soma de
e
. Precisamos identificar onde essa soma é maior ou igual a zero e onde é menor que zero dentro desse quadrado.
Passo 3
Para isso, vamos encontrar a linha onde
. Essa linha divide o quadrado em duas partes:
- Acima da linha (
): Aqui, . - Abaixo da linha (
): Aqui, .
A equação
representa a reta que passa pelos pontos
e
.
Passo 4
Agora, vamos dividir a integral original em duas integrais separadas com base nessas regiões:
-
Integral onde
: -
Integral onde
:
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente começando por
.
Calculando
:
Primeiro, integramos com relação a
:
Agora, integramos com relação a
:
Calculando os limites:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Distribuindo o sinal negativo:
Integrando com relação a
:
Agora, integramos com relação a
:
Calculando os limites:
Resposta
Somando as duas integrais:
. Portanto, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais, para as regiões
indicadas.
, onde
é limitada por
e
.
Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
.
(a) Calcular
, onde
é limitada por
e pela curva
.
Calcular as seguintes integrais:
.