Calcular as seguintes integrais:
.

Passo 1

Beleza! O exercício pede para calcular a integral dupla . Isso está dentro do tema de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais duplas e funções absolutas. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta na região de integração e dividir essa região de acordo com onde a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos e variando de a , formando um quadrado no plano cartesiano. A função que estamos integrando é , que depende da soma de e . Precisamos identificar onde essa soma é maior ou igual a zero e onde é menor que zero dentro desse quadrado.

Passo 3

Para isso, vamos encontrar a linha onde . Essa linha divide o quadrado em duas partes:
  1. Acima da linha ( ): Aqui, .
  2. Abaixo da linha ( ): Aqui, .
A equação representa a reta que passa pelos pontos e .

Passo 4

Agora, vamos dividir a integral original em duas integrais separadas com base nessas regiões:
  1. Integral onde :
  2. Integral onde :

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente começando por .

Calculando :

Primeiro, integramos com relação a :
Agora, integramos com relação a :
Calculando os limites:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Distribuindo o sinal negativo:
Integrando com relação a :
Agora, integramos com relação a :
Calculando os limites:

Resposta

Somando as duas integrais: . Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais, para as regiões indicadas.
, onde é limitada por e .
Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
.
(a) Calcular , onde é limitada por e pela curva .
Calcular as seguintes integrais:
.