Calcular as seguintes integrais:
integral-1^1 integral-1^1|x+y| d x d y.

Passo 1

Beleza! O exercício pede para calcular a integral dupla integral-1^1 integral-1^1|x+y| , dx , dy. Isso está dentro do tema de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais duplas e funções absolutas. Para resolver, vamos precisar entender como a função |x + y| se comporta na região de integração e dividir essa região de acordo com onde a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos x e y variando de -1 a 1, formando um quadrado no plano cartesiano. A função que estamos integrando é |x + y|, que depende da soma de x e y. Precisamos identificar onde essa soma é maior ou igual a zero e onde é menor que zero dentro desse quadrado.

Passo 3

Para isso, vamos encontrar a linha onde x + y = 0. Essa linha divide o quadrado em duas partes:
  1. Acima da linha ( x + y >= 0): Aqui, |x + y| = x + y.
  2. Abaixo da linha ( x + y < 0): Aqui, |x + y| = -(x + y).
A equação x + y = 0 representa a reta que passa pelos pontos (-1,1) e (1,-1).

Passo 4

Agora, vamos dividir a integral original em duas integrais separadas com base nessas regiões:
  1. Integral onde x + y >= 0:
    I1 = integral-1^1 integral-x^1 (x + y) , dy , dx
  2. Integral onde x + y < 0:
    I2 = integral-1^1 integral-1^-x -(x + y) , dy , dx

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente começando por I1.

Calculando I1:

I1 = integral-1^1 integral-x^1 (x + y) , dy , dx
Primeiro, integramos com relação a y:
integral-x^1 (x + y) , dy = [ xy + 12y^2 ]-x^1 = x(1) + 12(1)^2 - [x(-x) + 12(-x)^2] = x + 12 + x^2 - 12x^2 = x + 12 + 12x^2
Agora, integramos com relação a x:
I1 = integral-1^1 ( x + 12 + 12x^2 ) dx = [ 12x^2 + 12x + 16x^3 ]-1^1
Calculando os limites:
I1 = ( 12 + 12 + 16 ) - ( 12 - 12 - 16 ) = 43 + 16 = 32

Passo 6

Agora, vamos calcular I2:
I2 = integral-1^1 integral-1^-x -(x + y) , dy , dx
Distribuindo o sinal negativo:
I2 = -integral-1^1 integral-1^-x (x + y) , dy , dx
Integrando com relação a y:
integral-1^-x (x + y) , dy = [ xy + 12y^2 ]-1^-x = x(-x) + 12(-x)^2 - [x(-1) + 12(-1)^2] = -x^2 + 12x^2 + x - 12 = -12x^2 + x - 12
Agora, integramos com relação a x:
I2 = -integral-1^1 ( -12x^2 + x - 12 ) dx = integral-1^1 ( 12x^2 - x + 12 ) dx = [ 16x^3 - 12x^2 + 12x ]-1^1
Calculando os limites:
I2 = ( 16 - 12 + 12 ) - ( -16 - 12 - 12 ) = 16 + 56 = 1

Resposta

Somando as duas integrais: I1 + I2 = 32 + 1 = 52. Portanto, o valor da integral é 52.

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