Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
sobre o retângulo
. Isso significa que vamos somar todos os valores dessa função dentro desse retângulo. Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que nos permite calcular a área total sob uma superfície em um determinado domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. O retângulo
significa que
varia de 1 a 2 e
varia de 0 a 1. Podemos escolher a ordem de integração que for mais conveniente. Vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos escrever a integral dupla dessa forma:
Aqui,
é o elemento de área, que para integrais duplas retangulares é
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a
:
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples. Deixe
, então
. Quando
,
, e quando
,
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
:
Vamos separar as duas integrais:
Passo 7
Calculando cada integral separadamente:
Para a primeira:
Para a primeira:
Para a segunda:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Calculando:
Como
, fica:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Calcular as seguintes integrais:
.
(a) Calcular
, onde
é limitada por
e pela curva
.
Calcule as integrais, para as regiões
indicadas.
, onde
é limitada por
e
.
Calcule
, onde
é a região limitada pelas retas
,
.