Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.

.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre o retângulo . Isso significa que vamos somar todos os valores dessa função dentro desse retângulo. Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que nos permite calcular a área total sob uma superfície em um determinado domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. O retângulo significa que varia de 1 a 2 e varia de 0 a 1. Podemos escolher a ordem de integração que for mais conveniente. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos escrever a integral dupla dessa forma:
Aqui, é o elemento de área, que para integrais duplas retangulares é .

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a :
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples. Deixe , então . Quando , , e quando , .

Passo 5

Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a :
Vamos separar as duas integrais:

Passo 7

Calculando cada integral separadamente:
Para a primeira:
Para a segunda:

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
Calculando:
Como , fica:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Calcular as seguintes integrais:
.
(a) Calcular , onde é limitada por e pela curva .
Calcule as integrais, para as regiões indicadas.
, onde é limitada por e .
Calcule , onde é a região limitada pelas retas , .