Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
integral duplaD d A(x+2 y)^2
D=[1,2] times[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre o retângulo . Isso significa que vamos somar todos os valores dessa função dentro desse retângulo. Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que nos permite calcular a área total sob uma superfície em um determinado domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. O retângulo significa que varia de 1 a 2 e varia de 0 a 1. Podemos escolher a ordem de integração que for mais conveniente. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos escrever a integral dupla dessa forma:
integral duplaD dA(x + 2y)^2 = integral0^1 integral1^2 dx,dy(x + 2y)^2
Aqui, é o elemento de área, que para integrais duplas retangulares é .

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a integral1^2 dx(x + 2y)^2 :
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples. Deixe , então . Quando , , e quando , .

Passo 5

Substituindo na integral:
integral1 + 2y^2 + 2y duu^2 = [ -1u ]1 + 2y^2 + 2y = -12 + 2y + 11 + 2y
Simplificando:
11 + 2y - 12 + 2y = 11 + 2y - 12(1 + y)

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a integral0^1 ( 11 + 2y - 12(1 + y) ) dy :
integral0^1 11 + 2y dy - 12 integral0^1 11 + y dy
Vamos separar as duas integrais:

Passo 7

Calculando cada integral separadamente:
Para a primeira:
integral 11 + 2y dy = 12 ln|1 + 2y|
Para a segunda:
integral 11 + y dy = ln|1 + y|

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
12 [ ln(1 + 2y) ]0^1 - 12 [ ln(1 + y) ]0^1
Calculando:
12 ( ln(3) - ln(1) ) - 12 ( ln(2) - ln(1) )
Como 12 ln(3) - 12 ln(2) = 12 (ln(3) - ln(2)) = 12 ln( 32 ) , fica:

Resposta

A integral dupla vale .

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