Calcule as integrais, para as regiões D indicadas.
integral duplaD(x+2 y) d A, onde D é limitada por y=1x^2, y=1 e y=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaD(x+2 y) , dA, onde a região D é delimitada por y = 1x^2, y = 1 e y = 4. Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, focando em entender como integrar funções sobre regiões específicas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região D e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região D. Temos as curvas:
  • y = 1x^2: Uma parábola invertida que abre para cima.
  • y = 1 e y = 4: São linhas horizontais.
Queremos encontrar onde essas curvas se interceptam para determinar os limites de x e y. Vamos igualar y = 1x^2 a y = 1 e y = 4 para encontrar os valores de x.
Para y = 1:
1 = 1x^2 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = pm1
Para y = 4:
4 = 1x^2 Rightarrow x^2 = 14 Rightarrow x = pm12
Isso nos mostra que, para y entre 1 e 4, x varia de -1raizy a 1raizy.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla com base nesses limites. Vamos integrar em ordem de x primeiro e depois y.
A integral fica:
integraly=1^y=4 integralx=-1raizy^x=1raizy (x + 2y) , dx , dy

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a x:
integralx=-1raizy^x=1raizy (x + 2y) , dx
Isso separa em duas integrais:
integral x , dx + integral 2y , dx
Calculando cada uma:
12x^2 |-1raizy^1raizy + 2y x |-1raizy^1raizy
Substituindo os limites:
12 ( (1raizy)^2 - (-1raizy)^2 ) + 2y ( 1raizy - (-1raizy) )
Simplificando:
12 ( 1y - 1y ) + 2y ( 2raizy ) = 0 + 4yraizy = 4raizy

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^4 4raizy , dy
Vamos integrar 4raizy em relação a y:
4 integral y^1/2 , dy = 4 23 y^3/2 |1^4 = 83 ( y^3/2 )1^4
Calculando os limites:
83 ( 4^3/2 - 1^3/2 ) = 83 (8 - 1) = 83 times 7 = 563

Resposta

O valor da integral dupla é 563.

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