Calcule as integrais, para as regiões indicadas.
, onde é limitada por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla , onde a região é delimitada por , e . Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, focando em entender como integrar funções sobre regiões específicas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Temos as curvas:
  • : Uma parábola invertida que abre para cima.
  • e : São linhas horizontais.
Queremos encontrar onde essas curvas se interceptam para determinar os limites de e . Vamos igualar a e para encontrar os valores de .
Para :
Para :
Isso nos mostra que, para entre 1 e 4, varia de a .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla com base nesses limites. Vamos integrar em ordem de primeiro e depois .
A integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Isso separa em duas integrais:
Calculando cada uma:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar em relação a :
Calculando os limites:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
.
Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
.
Calcular as seguintes integrais:
.
(a) Calcular , onde é limitada por e pela curva .