Calcular a integral , onde é a região no primeiro quadrante limitado pelo círculo os eixos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . O enunciado nos diz que é a região no primeiro quadrante limitada pelo círculo e os eixos coordenados. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar fazer a mudança para coordenadas polares, que facilita bastante quando temos simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . Como estamos no primeiro quadrante e limitados pelo círculo , isso significa que (a distância ao redor da origem) vai de 0 até 2, já que .
Passo 3
Em coordenadas polares, substituímos e . O elemento de área também muda para . Além disso, a função no integrando fica .
Passo 4
Agora, configuramos os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, vai de 0 até radianos. E como mencionamos, vai de 0 até 2. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar primeiro em relação a . A integral interna é:
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a :
Passo 7
Multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral é .
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Calcular
Determinar a única função tal que: e tal que .
(Resp: ).