Calcular a integral
, onde
é a região no primeiro quadrante limitado pelo círculo
os eixos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. O enunciado nos diz que
é a região no primeiro quadrante limitada pelo círculo
e os eixos coordenados. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar fazer a mudança para coordenadas polares, que facilita bastante quando temos simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Como estamos no primeiro quadrante e limitados pelo círculo
, isso significa que
(a distância ao redor da origem) vai de 0 até 2, já que
.
Passo 3
Em coordenadas polares, substituímos
e
. O elemento de área
também muda para
. Além disso, a função no integrando
fica
.
Passo 4
Agora, configuramos os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante,
vai de 0 até
radianos. E como mencionamos,
vai de 0 até 2. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar primeiro em relação a
. A integral interna é:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Passo 7
Multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral é
.