Calcular a integral integral duplaD e^-(x^2+y^2) d x d y, onde R é a região no primeiro quadrante limitado pelo círculo x^2+y^2=4 e os eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . O enunciado nos diz que é a região no primeiro quadrante limitada pelo círculo e os eixos coordenados. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar fazer a mudança para coordenadas polares, que facilita bastante quando temos simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Como estamos no primeiro quadrante e limitados pelo círculo , isso significa que (a distância ao redor da origem) vai de 0 até 2, já que .

Passo 3

Em coordenadas polares, substituímos e . O elemento de área também muda para . Além disso, a função no integrando fica .

Passo 4

Agora, configuramos os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, integral0^pi2 integral0^2 e^-r^2 , r , dr , dtheta vai de 0 até radianos. E como mencionamos, vai de 0 até 2. Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar primeiro em relação a integral0^2 e^-r^2 , r , dr . A integral interna é:
12 integral0^4 e^-u , du = 12 [-e^-u]0^4 = 12 (1 - e^-4)
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^pi2 dtheta = pi2 :

Passo 7

Multiplicamos os resultados das integrais:
12 (1 - e^-4) times pi2 = pi4 (1 - e^-4)

Resposta

O valor da integral é .

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