Calcular a integral , onde é a região no primeiro quadrante limitado pelo círculo os eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . O enunciado nos diz que é a região no primeiro quadrante limitada pelo círculo e os eixos coordenados. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar fazer a mudança para coordenadas polares, que facilita bastante quando temos simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Como estamos no primeiro quadrante e limitados pelo círculo , isso significa que (a distância ao redor da origem) vai de 0 até 2, já que .

Passo 3

Em coordenadas polares, substituímos e . O elemento de área também muda para . Além disso, a função no integrando fica .

Passo 4

Agora, configuramos os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, vai de 0 até radianos. E como mencionamos, vai de 0 até 2. Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar primeiro em relação a . A integral interna é: Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :

Passo 7

Multiplicamos os resultados das integrais:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcular
(Resp:
(Resp:
Determinar a única função tal que: e tal que . (Resp: ).