Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e utilizar técnicas de integração básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até 1. Para facilitar, vamos desenhar essa região no plano :
vai de 0 a 1.
Para cada , vai de até 1.
Isso significa que a região está abaixo da curva (já que ) e entre e .
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem das integrais. Em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Para isso, precisamos reescrever os limites:
varia de 0 a 1.
Para cada , varia de 0 a .
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos integrar a função em relação a , mantendo constante. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração. Agora, aplicamos os limites de :
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na integral em :
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 6
Primeiro, calculamos . Para isso, usamos a integração por partes, onde: