Calcular

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e utilizar técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até 1. Para facilitar, vamos desenhar essa região no plano :
  1. vai de 0 a 1.
  2. Para cada , vai de até 1.
Isso significa que a região está abaixo da curva (já que ) e entre e .

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem das integrais. Em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Para isso, precisamos reescrever os limites:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 a .
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos integrar a função em relação a , mantendo constante. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração. Agora, aplicamos os limites de :

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral em :
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 6

Primeiro, calculamos . Para isso, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Temos:

Passo 7

Agora, calculamos :

Passo 8

Substituindo de volta na integral original:
Calculando cada parte:
  1. Para :
    • Em :
    • Em :
    • Diferença:
  2. Para :
    • Em :
    • Em :
    • Diferença:

Passo 9

Agora, juntando tudo:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

(Resp:
Calcular
Calcular a integral , onde é a região no primeiro quadrante limitado pelo círculo os eixos coordenados.
(Resp: