Calcular integral0^1 integralraizy^1 e^yx d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
integral0^1 integralraizy^1 e^yx , dx , dy
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e utilizar técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até 1. Para facilitar, vamos desenhar essa região no plano :
  1. vai de 0 a 1.
  2. Para cada , vai de até 1.
Isso significa que a região está abaixo da curva (já que ) e entre e .

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem das integrais. Em vez de integrar primeiro em integral0^1 integral0^x^2 e^yx , dy , dx e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Para isso, precisamos reescrever os limites:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 a .
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos integrar a função integral e^yx , dy = x e^yx + C em relação a x e^yx |0^x^2 = x e^x^2x - x e^0 = x e^x - x , mantendo constante. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração. Agora, aplicamos os limites de :

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral em integral0^1 (x e^x - x) , dx = integral0^1 x e^x , dx - integral0^1 x , dx :
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 6

Primeiro, calculamos integral u , dv = u v - integral v , du . Para isso, usamos a integração por partes, onde:
  • integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C = (x - 1) e^x + C
Aplicando a fórmula:
Temos:

Passo 7

Agora, calculamos integral x , dx = x^22 + C :

Passo 8

Substituindo de volta na integral original:
integral0^1 x e^x , dx - integral0^1 x , dx = [ (x - 1) e^x ]0^1 - [ x^22 ]0^1
Calculando cada parte:
  1. Para :
    • Em :
    • Em :
    • Diferença:
  2. Para :
    • Em :
    • Em :
    • Diferença:

Passo 9

Agora, juntando tudo:
1 - 12 = 12

Resposta

O valor da integral é .

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