Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Basicamente, a questão pede para a gente desenhar uma região no plano usando coordenadas polares que satisfazem duas condições: e . Vamos precisar entender como funcionam as coordenadas polares e como essas desigualdades determinam a área que vamos esboçar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Em vez de usar e como no sistema cartesiano, nas coordenadas polares usamos e :
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo que a linha que liga o ponto à origem faz com o eixo positivo .

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira condição: . Isso significa que todos os pontos que queremos estão entre duas circunferências:
  • A circunferência interna com raio .
  • A circunferência externa com raio .
Então, estamos falando de uma “anelada” ou região anelar entre esses dois raios.

Passo 4

A segunda condição é . Vamos entender esse intervalo de ângulos:
  • radianos é igual a .
  • radianos é igual a , mas como os ângulos se repetem a cada radianos, é o mesmo que (porque ).
Então, estamos falando de uma faixa de ângulos que começa em e vai até , que na prática vai de até uma volta completa chegando a .

Passo 5

Para esboçar a região:
  1. Desenhe duas circunferências concêntricas com raios e .
  2. Marque o ângulo inicial ( ) no círculo.
  3. Marque o ângulo final ( ou ) no mesmo círculo.
  4. Entre esses ângulos, desenhe linhas radiais que vão da circunferência interna para a externa.
  5. A região que fica entre as duas circunferências e entre essas duas linhas radiais é a região que satisfaz as condições dadas.

Resposta

A região no plano que satisfaz e é um anelado (anulário) com raio entre e , limitado angularmente entre e (ou ).

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