Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Basicamente, a questão pede para a gente desenhar uma região no plano usando coordenadas polares que satisfazem duas condições:
e
. Vamos precisar entender como funcionam as coordenadas polares e como essas desigualdades determinam a área que vamos esboçar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Em vez de usar
e
como no sistema cartesiano, nas coordenadas polares usamos
e
:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo que a linha que liga o ponto à origem faz com o eixo positivo .
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira condição:
. Isso significa que todos os pontos que queremos estão entre duas circunferências:
- A circunferência interna com raio
. - A circunferência externa com raio
.
Então, estamos falando de uma “anelada” ou região anelar entre esses dois raios.
Passo 4
A segunda condição é
. Vamos entender esse intervalo de ângulos:
-
radianos é igual a . -
radianos é igual a , mas como os ângulos se repetem a cada radianos, é o mesmo que (porque ).
Então, estamos falando de uma faixa de ângulos que começa em
e vai até
, que na prática vai de
até uma volta completa chegando a
.
Passo 5
Para esboçar a região:
- Desenhe duas circunferências concêntricas com raios
e . - Marque o ângulo inicial
( ) no círculo. - Marque o ângulo final
( ou ) no mesmo círculo. - Entre esses ângulos, desenhe linhas radiais que vão da circunferência interna para a externa.
- A região que fica entre as duas circunferências e entre essas duas linhas radiais é a região que satisfaz as condições dadas.
Resposta
A região no plano que satisfaz
e
é um anelado (anulário) com raio entre
e
, limitado angularmente entre
e
(ou
).
Exercícios relacionados
Encontre as coordenadas polares de cada ponto, em que
e
.
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.
Calcular
, em que
é a região no primeiro quadrante limitada por
.
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.