Encontre as coordenadas polares de cada ponto, em que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para transformar as coordenadas cartesianas do ponto em coordenadas polares. Coordenadas polares são uma forma diferente de representar um ponto no plano, usando a distância até a origem ( ) e o ângulo ( ) que esse ponto faz com o eixo positivo x. Para isso, vamos precisar das fórmulas de conversão entre coordenadas cartesianas e polares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância do ponto até a origem. A fórmula para isso é:
Aqui, e . Vamos substituir esses valores na fórmula:
Então, a distância é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ângulo . A fórmula básica para isso é:
Mas precisamos lembrar que a função sozinho só nos dá o ângulo principal, ou seja, no primeiro ou quarto quadrante. Nosso ponto está no segundo quadrante porque é negativo e é positivo. Portanto, depois de calcularmos o , vamos ajustar o ângulo adicionando para ficar no segundo quadrante.
Vamos calcular:
Como estamos no segundo quadrante, adicionamos :
Então, o ângulo é .

Resposta

As coordenadas polares do ponto são:

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Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com e o outro com .
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com e o outro com .
Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
Calcular , em que é a região no primeiro quadrante limitada por .