Encontre as coordenadas polares de cada ponto, em que r > 0 e 0 <= theta <= 2 pi.
(-4, 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para transformar as coordenadas cartesianas do ponto em coordenadas polares. Coordenadas polares são uma forma diferente de representar um ponto no plano, usando a distância até a origem ( r) e o ângulo ( theta) que esse ponto faz com o eixo positivo x. Para isso, vamos precisar das fórmulas de conversão entre coordenadas cartesianas e polares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância r do ponto até a origem. A fórmula para isso é:
Aqui, e . Vamos substituir esses valores na fórmula:
Então, a distância r é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ângulo theta. A fórmula básica para isso é:
Mas precisamos lembrar que a função sozinho só nos dá o ângulo principal, ou seja, no primeiro ou quarto quadrante. Nosso ponto está no segundo quadrante porque x é negativo e y é positivo. Portanto, depois de calcularmos o , vamos ajustar o ângulo adicionando pi para ficar no segundo quadrante.
Vamos calcular:
Como estamos no segundo quadrante, adicionamos pi:
Então, o ângulo theta é .

Resposta

As coordenadas polares do ponto são:

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