Calcular integral duplaD cos [(2 x-y)^2+2(x+y)^2] d x d y, onde D é a região do primeiro quadrante limitada por 2 x^2+y^2=4 e os eixos coordenados.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaD cos [(2 x-y)^2+2(x+y)^2] d x d y, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pela curva 2 x^2+y^2=4 e pelos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis que simplifique a expressão dentro do cosseno e a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição de variáveis adequada. Observando a expressão (2x - y)^2 + 2(x + y)^2, percebemos que se definirmos:
u = 2x - y e v = x + y
essa substituição pode simplificar a expressão dentro do cosseno.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área de integração. As derivadas parciais são:
partial upartial x = 2, partial upartial y = -1
partial vpartial x = 1, partial vpartial y = 1
O jacobiano J é então:
J = 2 & -1 1 & 1 = (2)(1) - (-1)(1) = 2 + 1 = 3
Portanto, d x d y = 1|J| du dv = 13 du dv

Passo 4

Agora, vamos reescrever a região D na nova coordenada (u, v). A curva 2x^2 + y^2 = 4 substituindo x e y:
2x^2 + y^2 = 4
Com as substituições u = 2x - y e v = x + y, podemos resolver para x e y em termos de u e v:
x = u + v3, y = 2v - u3
Substituindo na equação da curva:
2(u + v3)^2 + (2v - u3)^2 = 4
Simplificando, encontramos a nova região em termos de u e v.

Passo 5

Com a mudança de variáveis e o jacobiano calculado, a integral original se transforma em:
integral duplaD cos (u^2 + 2v^2) cdot 13 du dv
Isso simplifica nossa integral para:
13 integral duplaD' cos (u^2 + 2v^2) du dv
onde D' é a nova região no plano (u, v).

Passo 6

Para resolver a integral integral duplaD' cos (u^2 + 2v^2) du dv, observamos que é uma integral que pode ser tratada em coordenadas polares ou utilizar funções especiais, mas devido à complexidade da função cosseno, a integral não possui uma antiderivada em termos de funções elementares. Portanto, a integral será expressa em termos de funções especiais ou avaliada numericamente.

Resposta

A integral dupla é igual a 13 vezes a integral de cos(u^2 + 2v^2) sobre a região transformada D', ou seja:
integral duplaD cos [(2 x-y)^2+2(x+y)^2] d x d y = 13 integral duplaD' cos (u^2 + 2v^2) du dv
Essa expressão pode ser avaliada numericamente para obter o valor final.

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