Calcular , onde é a região do primeiro quadrante limitada por e os eixos coordenados.
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante limitada pela curva e pelos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis que simplifique a expressão dentro do cosseno e a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição de variáveis adequada. Observando a expressão , percebemos que se definirmos:
essa substituição pode simplificar a expressão dentro do cosseno.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área de integração. As derivadas parciais são:
O jacobiano é então:
Portanto, d x d y = 1|J| du dv = 13 du dv
Passo 4
Agora, vamos reescrever a região D na nova coordenada (u, v). A curva 2x^2 + y^2 = 4 substituindo x e y:
2x^2 + y^2 = 4
Com as substituições u = 2x - y e v = x + y, podemos resolver para x e y em termos de u e v:
x = u + v3, y = 2v - u3
Substituindo na equação da curva:
2(u + v3)^2 + (2v - u3)^2 = 4
Simplificando, encontramos a nova região em termos de u e v.
Passo 5
Com a mudança de variáveis e o jacobiano calculado, a integral original se transforma em:
integral duplaD cos (u^2 + 2v^2) cdot 13 du dv
Isso simplifica nossa integral para:
13 integral duplaD' cos (u^2 + 2v^2) du dv
onde D' é a nova região no plano (u, v).
Passo 6
Para resolver a integral integral duplaD' cos (u^2 + 2v^2) du dv, observamos que é uma integral que pode ser tratada em coordenadas polares ou utilizar funções especiais, mas devido à complexidade da função cosseno, a integral não possui uma antiderivada em termos de funções elementares. Portanto, a integral será expressa em termos de funções especiais ou avaliada numericamente.
Resposta
A integral dupla é igual a 13 vezes a integral de cos(u^2 + 2v^2) sobre a região transformada D', ou seja:
integral duplaD cos [(2 x-y)^2+2(x+y)^2] d x d y = 13 integral duplaD' cos (u^2 + 2v^2) du dv
Essa expressão pode ser avaliada numericamente para obter o valor final.