Calcular , onde é a região do primeiro quadrante limitada por e os eixos coordenados.
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante limitada pela curva e pelos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis que simplifique a expressão dentro do cosseno e a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição de variáveis adequada. Observando a expressão , percebemos que se definirmos:
essa substituição pode simplificar a expressão dentro do cosseno.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área de integração. As derivadas parciais são:
O jacobiano é então:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos reescrever a região na nova coordenada . A curva substituindo e :
Com as substituições e , podemos resolver para e em termos de e :
Substituindo na equação da curva:
Simplificando, encontramos a nova região em termos de e .
Passo 5
Com a mudança de variáveis e o jacobiano calculado, a integral original se transforma em:
Isso simplifica nossa integral para:
onde é a nova região no plano .
Passo 6
Para resolver a integral , observamos que é uma integral que pode ser tratada em coordenadas polares ou utilizar funções especiais, mas devido à complexidade da função cosseno, a integral não possui uma antiderivada em termos de funções elementares. Portanto, a integral será expressa em termos de funções especiais ou avaliada numericamente.
Resposta
A integral dupla é igual a vezes a integral de sobre a região transformada , ou seja:
Essa expressão pode ser avaliada numericamente para obter o valor final.