Calcular , onde é a região no semiplano superior do plano e esta limitada pelas parábolas e o eixo . (use a mudança de variáveis

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla , onde a região está no semiplano superior e é limitada pelas parábolas e pelo eixo . Para resolver isso, vamos usar a mudança de variáveis e . Essa troca vai ajudar a simplificar a região de integração e facilitar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis. Definimos:
Essa transformação é útil porque pode transformar a região complicada no plano em uma região mais simples no plano .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais de e em relação a e . Vamos calcular:
Então, o Jacobiano é:

Passo 4

Agora, vamos descrever a região na nova coordenada . As parábolas que delimitam são e , além do eixo . Substituindo e pelas expressões em e , temos:
Para :
Para :

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar os limites de e . Somando e subtraindo as duas equações:
Subtraindo a segunda da primeira:
Então, na nova coordenada, a região se restringe onde .

Passo 6

Observando a simetria, percebemos que e vão variar de 0 a 1, já que para e , obtemos os limites das parábolas no plano original. Assim, os limites de integração são:

Passo 7

Agora, vamos reescrever a integral na nova coordenada usando o Jacobiano:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, temos:
Portanto, a integral fica:

Passo 8

Com os limites de integração de e de 0 a 1, a integral se torna:

Passo 9

Vamos resolver a integral interna em :
Integrando termo a termo:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 10

Agora, vamos integrar em :
Integrando termo a termo:
Somando os termos:
Multiplicando por 4:

Resposta

A integral dupla vale .

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