Calcular , onde é a região no semiplano superior do plano e esta limitada pelas parábolas e o eixo . (use a mudança de variáveis
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla , onde a região está no semiplano superior e é limitada pelas parábolas e pelo eixo . Para resolver isso, vamos usar a mudança de variáveis e . Essa troca vai ajudar a simplificar a região de integração e facilitar o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis. Definimos:
Essa transformação é útil porque pode transformar a região complicada no plano em uma região mais simples no plano .
Passo 3
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais de e em relação a e . Vamos calcular:
Então, o Jacobiano é:
Passo 4
Agora, vamos descrever a região D na nova coordenada uv. As parábolas que delimitam D são y^2 = 4(1 + x) e y^2 = 4(1 - x), além do eixo X. Substituindo x e y pelas expressões em u e v, temos:
Vamos resolver essas equações para encontrar os limites de u e v. Somando e subtraindo as duas equações:
u^2v^2 = 1 + u^2 - v^2
u^2v^2 = 1 - u^2 + v^2
Subtraindo a segunda da primeira:
0 = 2u^2 - 2v^2 Rightarrow u^2 = v^2 Rightarrow u = v
Então, na nova coordenada, a região se restringe onde u = v.
Passo 6
Observando a simetria, percebemos que u e v vão variar de 0 a 1, já que para u = 1 e v = 1, obtemos os limites das parábolas no plano original. Assim, os limites de integração são:
0 <= u <= 1
0 <= v <= 1
Passo 7
Agora, vamos reescrever a integral na nova coordenada usando o Jacobiano:
integral duplaD raizx^2+y^2 , dx , dy = integral duplaD' raiz(u^2 - v^2)^2 + (2uv)^2 cdot 4(u^2 + v^2) , du , dv