Calcular integral duplaD raizx^2+y^2 d x d y, onde D é a região no semiplano superior do plano X Y e esta limitada pelas parábolas y^2= 4(1 pm x) e o eixo X. (use a mudança de variáveis x=u^2-v^2, y=2 u v)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla integral duplaD raizx^2+y^2 , dx , dy, onde a região D está no semiplano superior e é limitada pelas parábolas y^2 = 4(1 pm x) e pelo eixo X. Para resolver isso, vamos usar a mudança de variáveis x = u^2 - v^2 e y = 2uv. Essa troca vai ajudar a simplificar a região de integração e facilitar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis. Definimos:
x = u^2 - v^2
y = 2uv
Essa transformação é útil porque pode transformar a região complicada no plano XY em uma região mais simples no plano uv.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais de x e y em relação a u e v. Vamos calcular:
partial xpartial u = 2u ; partial xpartial v = -2v
partial ypartial u = 2v ; partial ypartial v = 2u
Então, o Jacobiano J é:
J = 2u & -2v 2v & 2u = (2u)(2u) - (-2v)(2v) = 4u^2 + 4v^2 = 4(u^2 + v^2)

Passo 4

Agora, vamos descrever a região D na nova coordenada uv. As parábolas que delimitam D são y^2 = 4(1 + x) e y^2 = 4(1 - x), além do eixo X. Substituindo x e y pelas expressões em u e v, temos:
Para y^2 = 4(1 + x):
(2uv)^2 = 4(1 + u^2 - v^2) Rightarrow 4u^2v^2 = 4 + 4u^2 - 4v^2 Rightarrow u^2v^2 = 1 + u^2 - v^2
Para y^2 = 4(1 - x):
(2uv)^2 = 4(1 - (u^2 - v^2)) Rightarrow 4u^2v^2 = 4(1 - u^2 + v^2) Rightarrow u^2v^2 = 1 - u^2 + v^2

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar os limites de u e v. Somando e subtraindo as duas equações:
  1. u^2v^2 = 1 + u^2 - v^2
  2. u^2v^2 = 1 - u^2 + v^2
Subtraindo a segunda da primeira:
0 = 2u^2 - 2v^2 Rightarrow u^2 = v^2 Rightarrow u = v
Então, na nova coordenada, a região se restringe onde u = v.

Passo 6

Observando a simetria, percebemos que u e v vão variar de 0 a 1, já que para u = 1 e v = 1, obtemos os limites das parábolas no plano original. Assim, os limites de integração são:
0 <= u <= 1
0 <= v <= 1

Passo 7

Agora, vamos reescrever a integral na nova coordenada usando o Jacobiano:
integral duplaD raizx^2+y^2 , dx , dy = integral duplaD' raiz(u^2 - v^2)^2 + (2uv)^2 cdot 4(u^2 + v^2) , du , dv
Simplificando a expressão dentro da raiz:
(u^2 - v^2)^2 + (2uv)^2 = u^4 - 2u^2v^2 + v^4 + 4u^2v^2 = u^4 + 2u^2v^2 + v^4 = (u^2 + v^2)^2
Então, temos:
raiz(u^2 + v^2)^2 = u^2 + v^2
Portanto, a integral fica:
4 integral duplaD' (u^2 + v^2)^2 , du , dv

Passo 8

Com os limites de integração de u e v de 0 a 1, a integral se torna:
4 integral0^1 integral0^1 (u^2 + v^2)^2 , du , dv

Passo 9

Vamos resolver a integral interna em u:
integral0^1 (u^2 + v^2)^2 , du = integral0^1 (u^4 + 2u^2v^2 + v^4) , du
Integrando termo a termo:
integral0^1 u^4 , du = 15
integral0^1 2u^2v^2 , du = 2v^2 cdot 13 = 2v^23
integral0^1 v^4 , du = v^4 cdot 1 = v^4
Então, a integral interna resulta em:
15 + 2v^23 + v^4

Passo 10

Agora, vamos integrar em v:
4 integral0^1 ( 15 + 2v^23 + v^4 ) , dv
Integrando termo a termo:
4 ( 15 cdot 1 + 23 cdot 13 + 15 ) = 4 ( 15 + 29 + 15 )
Somando os termos:
15 + 29 + 15 = 25 + 29 = 18 + 1045 = 2845
Multiplicando por 4:
4 cdot 2845 = 11245

Resposta

A integral dupla vale 11245.

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