Calcular , utilizando a mudança de variáveis onde é a região do
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, mais especificamente, mudança de variáveis em integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar fazer a substituição das variáveis conforme indicado: e . Além disso, vamos usar a fórmula do Jacobiano para ajustar a área da mudança de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região D no plano (u, v). A região D é definida por e . Isso significa que u varia de 1 a 2 e v varia de -1 a 1.
Passo 3
Agora, vamos expressar a função que está dentro da integral em termos de u e v. Temos . Substituindo e , fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o determinante do Jacobiano da transformação. O Jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
O valor absoluto do Jacobiano é:
Passo 6
Agora, substituímos tudo na integral original. A integral se transforma em: