Calcular integral duplaD raiz4 x^2+y^2 d x d y, utilizando a mudança de variáveis x=u v, y= u^2-v^2 onde D é a região do (u, v) ; 1 <= u <= 2,-1 <= v <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaD raiz4 x^2+y^2 , dx , dy. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, mais especificamente, mudança de variáveis em integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar fazer a substituição das variáveis conforme indicado: x = u v e y = u^2 - v^2. Além disso, vamos usar a fórmula do Jacobiano para ajustar a área da mudança de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região D no plano (u, v). A região D é definida por 1 <= u <= 2 e -1 <= v <= 1. Isso significa que u varia de 1 a 2 e v varia de -1 a 1.

Passo 3

Agora, vamos expressar a função que está dentro da integral em termos de u e v. Temos raiz4x^2 + y^2. Substituindo x = u v e y = u^2 - v^2, fica:
raiz4(u v)^2 + (u^2 - v^2)^2 = raiz4u^2v^2 + u^4 - 2u^2v^2 + v^4 = raizu^4 + 2u^2v^2 + v^4

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
u^4 + 2u^2v^2 + v^4 = (u^2 + v^2)^2
Então:
raiz(u^2 + v^2)^2 = u^2 + v^2

Passo 5

Agora, precisamos calcular o determinante do Jacobiano da transformação. O Jacobiano é dado por:
J = partial(x, y)partial(u, v) = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = v, partial xpartial v = u partial ypartial u = 2u, partial ypartial v = -2v
Então:
J = v & u 2u & -2v = v cdot (-2v) - u cdot 2u = -2v^2 - 2u^2 = -2(u^2 + v^2)
O valor absoluto do Jacobiano é:
|J| = 2(u^2 + v^2)

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral original. A integral se transforma em:
integral duplaD (u^2 + v^2) cdot 2(u^2 + v^2) , du , dv = 2 integral duplaD (u^2 + v^2)^2 , du , dv

Passo 7

Vamos agora expandir (u^2 + v^2)^2:
(u^2 + v^2)^2 = u^4 + 2u^2v^2 + v^4
Então, a integral fica:
2 integral1^2 integral-1^1 (u^4 + 2u^2v^2 + v^4) , dv , du

Passo 8

Vamos integrar em relação a v primeiro:
integral-1^1 u^4 , dv = u^4 cdot [v]-1^1 = u^4(1 - (-1)) = 2u^4 integral-1^1 2u^2v^2 , dv = 2u^2 cdot [ v^33 ]-1^1 = 2u^2 ( 13 - (-13) ) = 4u^23 integral-1^1 v^4 , dv = [ v^55 ]-1^1 = 15 - (-15) = 25
Somando tudo:
2u^4 + 4u^23 + 25

Passo 9

Agora, a integral se torna:
2 integral1^2 (2u^4 + 4u^23 + 25) , du
Vamos distribuir o 2:
4 integral1^2 u^4 , du + 83 integral1^2 u^2 , du + 45 integral1^2 1 , du

Passo 10

Calculando cada integral:
4 [ u^55 ]1^2 = 4 ( 325 - 15 ) = 4 cdot 315 = 1245 83 [ u^33 ]1^2 = 83 ( 83 - 13 ) = 83 cdot 73 = 569 45 [ u ]1^2 = 45 (2 - 1) = 45

Passo 11

Somando tudo:
1245 + 569 + 45 = 124 + 45 + 569 = 1285 + 569 = 128 cdot 9 + 56 cdot 545 = 1152 + 28045 = 143245

Resposta

O valor da integral dupla é 143245.

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