Calcular , utilizando a mudança de variáveis onde é a região do

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, mais especificamente, mudança de variáveis em integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar fazer a substituição das variáveis conforme indicado: e . Além disso, vamos usar a fórmula do Jacobiano para ajustar a área da mudança de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região D no plano (u, v). A região D é definida por e . Isso significa que u varia de 1 a 2 e v varia de -1 a 1.

Passo 3

Agora, vamos expressar a função que está dentro da integral em termos de u e v. Temos . Substituindo e , fica:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o determinante do Jacobiano da transformação. O Jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
O valor absoluto do Jacobiano é:

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral original. A integral se transforma em:

Passo 7

Vamos agora expandir :
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar em relação a v primeiro:
Somando tudo:

Passo 9

Agora, a integral se torna:
Vamos distribuir o 2:

Passo 10

Calculando cada integral:

Passo 11

Somando tudo:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Determine as integrais definidas:
Determine as derivadas das seguintes funções:
(Resp: .
Se e , encontre os valores das outras funções hiperbólicas .
Calcular , onde é a região do primeiro quadrante limitada por e os eixos coordenados.