Calcular , utilizando a mudança de variáveis onde é a região do
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, mais especificamente, mudança de variáveis em integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar fazer a substituição das variáveis conforme indicado: e . Além disso, vamos usar a fórmula do Jacobiano para ajustar a área da mudança de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região D no plano (u, v). A região D é definida por e . Isso significa que u varia de 1 a 2 e v varia de -1 a 1.
Passo 3
Agora, vamos expressar a função que está dentro da integral em termos de u e v. Temos . Substituindo e , fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o determinante do Jacobiano da transformação. O Jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = v, partial xpartial v = u partial ypartial u = 2u, partial ypartial v = -2v
Então:
J = v & u 2u & -2v = v cdot (-2v) - u cdot 2u = -2v^2 - 2u^2 = -2(u^2 + v^2)
O valor absoluto do Jacobiano é:
|J| = 2(u^2 + v^2)
Passo 6
Agora, substituímos tudo na integral original. A integral se transforma em:
integral duplaD (u^2 + v^2) cdot 2(u^2 + v^2) , du , dv = 2 integral duplaD (u^2 + v^2)^2 , du , dv
Passo 7
Vamos agora expandir (u^2 + v^2)^2:
(u^2 + v^2)^2 = u^4 + 2u^2v^2 + v^4
Então, a integral fica:
2 integral1^2 integral-1^1 (u^4 + 2u^2v^2 + v^4) , dv , du