Calcular a
integral integral duplaD raiz1-x^2-y^21+x^2+y^2 d x d y, onde R é a região dada pelas desigualdades x^2+y^2 <= 1, x >= 0, y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve um pouco de cálculo e geometria. A questão pede para calcular a integral
integral duplaD raiz1-x^2-y^21+x^2+y^2 , dx , dy,
onde a região é definida por , e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam muito o trabalho com regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a integral para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
x = r costheta, y = r sintheta, dx , dy = r , dr , dtheta
Além disso, a região no primeiro quadrante do círculo unitário vai de a e de a .

Passo 3

Agora, substituímos raiz1 - r^21 + r^2 e integral0^pi2 integral0^1 raiz1 - r^21 + r^2 cdot r , dr , dtheta na função integrada:
Então, a integral em coordenadas polares fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral em integral0^1 r raiz1 - r^21 + r^2 , dr primeiro:
12 integral0^1 raiz1 - u1 + u , du
Para isso, podemos fazer a substituição , o que implica ou . A integral vira então:
Essa integral pode ser resolvida usando métodos de substituição trigonométrica ou reconhecendo formas de integrais padrão, resultando em uma expressão envolvendo funções arctangentes.

Passo 5

Depois de resolver a integral em integral0^pi2 dtheta = pi2 , que nos dará um valor constante, precisamos integrar em :
Multiplicando esse resultado pelo valor obtido na integral em , teremos o valor final da integral dupla.

Resposta

Após realizar todas as substituições e integrações, o valor da integral é dado por:
pi2 cdot (resu
Portanto, a integral dupla calculada é:
integral duplaD raiz1-x^2-y^21+x^2+y^2 , dx , dy = pi2 cdot ( valor da integral em r )

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