Calcular a
integral
onde
é a região dada pelas desigualdades
.
integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve um pouco de cálculo e geometria. A questão pede para calcular a integral
onde a região
é definida por
,
e
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam muito o trabalho com regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a integral para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
Além disso, a região
no primeiro quadrante do círculo unitário vai de
a
e de
a
.
Passo 3
Agora, substituímos
e
na função integrada:
Então, a integral em coordenadas polares fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Para isso, podemos fazer a substituição
, o que implica
ou
. A integral vira então:
Essa integral pode ser resolvida usando métodos de substituição trigonométrica ou reconhecendo formas de integrais padrão, resultando em uma expressão envolvendo funções arctangentes.
Passo 5
Depois de resolver a integral em
, que nos dará um valor constante, precisamos integrar em
:
Multiplicando esse resultado pelo valor obtido na integral em
, teremos o valor final da integral dupla.
Resposta
Após realizar todas as substituições e integrações, o valor da integral é dado por:
Portanto, a integral dupla calculada é: