Calcular a integral integral duplaD d A(1+x^2+y^2)^3 / 2, onde D é o domínio triangular de vértices (0,0),(1,0), e (1,1). [Dica: Use as coordenadas polares].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde é um triângulo com vértices em , e . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais duplas, e a dica é a gente usar coordenadas polares pra facilitar a resolução. Vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio . O triângulo vai de a e até . Em coordenadas cartesianas, isso significa que varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 até . Mas como a dica sugere usar coordenadas polares, vamos fazer essa mudança.

Passo 3

Em coordenadas polares, a gente tem integral duplaD r , dr , dtheta(1 + r^2)^3/2 e . A área elementar em polares é . Além disso, , então a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para integral0^pi4 integral0^1cos theta r , dr , dtheta(1 + r^2)^3/2 e . Olhando o triângulo, vamos determinar os limites:
  • varia de 0 a (45 graus), porque o triângulo vai do eixo até a linha .
  • Para cada , vai de 0 até , já que no ponto , .
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1cos theta r(1 + r^2)^3/2 dr :
12 integral1^1 + 1cos^2 theta u^-3/2 du
Fazendo uma substituição 12 [ -2 u^-1/2 ]1^1 + 1cos^2 theta = -u^-1/2 |1^1 + 1cos^2 theta , então - ( 1raiz1 + 1cos^2 theta - 1 ) = 1 - cos thetaraiz1 + cos^2 theta , ou . A integral fica:
Integrando, temos:
Substituindo os limites:

Passo 6

Agora, vamos integrar isso em relação a integral0^pi4 ( 1 - cos thetaraiz1 + cos^2 theta ) dtheta :
integral0^pi4 dtheta - integral0^pi4 cos thetaraiz1 + cos^2 theta dtheta
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
[ theta ]0^pi4 = pi4
A primeira parte é simples:

Passo 7

Para a segunda integral, fazemos uma substituição , então . Porém, isso complica a integral, então uma abordagem melhor é reconhecer que ela não tem uma antiderivada elementar simples. Assim, podemos deixar a resposta em termos de funções conhecidas ou usar métodos numéricos.

Resposta

A integral dupla sobre o triângulo é igual a .

Exercícios relacionados

Derive cada uma das funções dadas abaixo:
g) f(x) = cos(e^x + 1)
Dada a função f(x) = { x^2 - 4, x <= 3; 8 - x, 3 < x <= 5; 3, x > 5 }, verifique se existe a derivada nos pontos indicados. Em caso afirmativo, calcule a derivada nesses pontos.
Integrar f(x, y) = cos(x^2 + y^2) sobre:
(b) o anel 1 <= x^2 + y^2 <= 4.
Integrar f(x, y) = x + y sobre:
(a) o domínio D = {(x, y) | 0 <= x^2 + y^2 <= 1, x >= 0, y >= 0}