Calcular a integral , onde é o domínio triangular de vértices , e . [Dica: Use as coordenadas polares].
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde é um triângulo com vértices em , e . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais duplas, e a dica é a gente usar coordenadas polares pra facilitar a resolução. Vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites da integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio . O triângulo vai de a e até . Em coordenadas cartesianas, isso significa que varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 até . Mas como a dica sugere usar coordenadas polares, vamos fazer essa mudança.
Passo 3
Em coordenadas polares, a gente tem e . A área elementar em polares é . Além disso, , então a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para e . Olhando o triângulo, vamos determinar os limites:
varia de 0 a (45 graus), porque o triângulo vai do eixo até a linha .
Para cada , vai de 0 até , já que no ponto , .
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo uma substituição , então , ou . A integral fica:
Integrando, temos:
Substituindo os limites:
Passo 6
Agora, vamos integrar isso em relação a integral0^pi4 ( 1 - cos thetaraiz1 + cos^2 theta ) dtheta :
integral0^pi4 dtheta - integral0^pi4 cos thetaraiz1 + cos^2 theta dtheta
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
[ theta ]0^pi4 = pi4
A primeira parte é simples:
Passo 7
Para a segunda integral, fazemos uma substituição , então . Porém, isso complica a integral, então uma abordagem melhor é reconhecer que ela não tem uma antiderivada elementar simples. Assim, podemos deixar a resposta em termos de funções conhecidas ou usar métodos numéricos.