Integrar f(x, y) = cos(x^2 + y^2) sobre:
(b) o anel 1 <= x^2 + y^2 <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa integrar a função sobre o anel definido por . Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em coordenadas polares, que é super útil quando a região de integração é circular ou anular. Então, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e utilizar as propriedades das integrais nessa nova base.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a função e a região de integração para coordenadas polares. Lembrando que, em coordenadas polares, temos:
E a expressão vira simplesmente . Então, a nossa função fica:
A região do anel se transforma em , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que ao mudar para coordenadas polares, o elemento de área se transforma em . Portanto, a integral dupla fica:
Aqui, vai de 0 a para cobrir todo o círculo, e vai de 1 a 2 para cobrir o anel.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo uma substituição simples, deixamos , então ou . A integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a :
Multiplicando esse resultado pelo que obtivemos da integral em :

Resposta

A integral de sobre o anel é igual a:

Exercícios relacionados

Calcular a integral integral duplaD d A(1+x^2+y^2)^3 / 2, onde D é o domínio triangular de vértices (0,0),(1,0), e (1,1). [Dica: Use as coordenadas polares].
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
g) f(x) = cos(e^x + 1)
Integrar f(x, y) = x + y sobre:
(a) o domínio D = {(x, y) | 0 <= x^2 + y^2 <= 1, x >= 0, y >= 0}
Integrar f(x, y) = x + y sobre:
(b) o domínio D = {(x, y) | 1 <= x² + y² <= 4, x >= 0, y >= 0}.