Integrar
sobre:
(b) o anel
.
(b) o anel
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa integrar a função
sobre o anel definido por
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em coordenadas polares, que é super útil quando a região de integração é circular ou anular. Então, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e utilizar as propriedades das integrais nessa nova base.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a função e a região de integração para coordenadas polares. Lembrando que, em coordenadas polares, temos:
E a expressão
vira simplesmente
. Então, a nossa função fica:
A região do anel
se transforma em
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que ao mudar para coordenadas polares, o elemento de área
se transforma em
. Portanto, a integral dupla fica:
Aqui,
vai de 0 a
para cobrir todo o círculo, e
vai de 1 a 2 para cobrir o anel.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo uma substituição simples, deixamos
, então
ou
. A integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a
:
Multiplicando esse resultado pelo que obtivemos da integral em
:
Resposta
A integral de
sobre o anel
é igual a:
Exercícios relacionados
Calcular a integral
, onde
é o domínio triangular de vértices
, e
. [Dica: Use as coordenadas polares].
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
g)
g)
Integrar
sobre:
(a) o domínio
(a) o domínio
Integrar
sobre:
(b) o domínio .
(b) o domínio