Dada a função , verifique se existe a derivada nos pontos indicados. Em caso afirmativo, calcule a derivada nesses pontos.
Passo 1
Então, a gente tem uma função definida por partes:
O objetivo aqui é descobrir se a derivada dessa função existe nos pontos onde a definição dela muda, que são e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre derivadas de funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua nesses pontos. A continuidade é necessária para que a derivada exista. Se a função não for contínua em algum desses pontos, a derivada definitivamente não existe lá.
Passo 3
Vamos começar olhando o ponto :
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita ():
Como os limites são iguais e a função está definida para como , a função é contínua em .
Passo 4
Agora, vamos olhar para o ponto :
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita ():
A função também é contínua em , pois os limites laterais são iguais a .
Passo 5
Agora que sabemos que a função é contínua em ambos os pontos, vamos verificar a existência da derivada nesses pontos. Para isso, precisamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita e ver se são iguais.