Dada a função f(x) = { x^2 - 4, x <= 3; 8 - x, 3 < x <= 5; 3, x > 5 }, verifique se existe a derivada nos pontos indicados. Em caso afirmativo, calcule a derivada nesses pontos.

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida por partes:
O objetivo aqui é descobrir se a derivada dessa função existe nos pontos onde a definição dela muda, que são e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre derivadas de funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua nesses pontos. A continuidade é necessária para que a derivada exista. Se a função não for contínua em algum desses pontos, a derivada definitivamente não existe lá.

Passo 3

Vamos começar olhando o ponto :
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Como os limites são iguais e a função está definida para como , a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos olhar para o ponto :
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
A função também é contínua em , pois os limites laterais são iguais a .

Passo 5

Agora que sabemos que a função é contínua em ambos os pontos, vamos verificar a existência da derivada nesses pontos. Para isso, precisamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita e ver se são iguais.

Passo 6

Começando com :
  • Derivada pela esquerda ( ):
    Então,
  • Derivada pela direita ( ):
    Então,
Como , a derivada não existe em .

Passo 7

Agora, vamos para :
  • Derivada pela esquerda ( ):
    Então,
  • Derivada pela direita ( ):
    Então,
Como , a derivada também não existe em .

Resposta

A derivada da função não existe nos pontos e .

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