Integrar sobre:
(a) o domínio

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral dupla da função sobre o domínio , que é a região no primeiro quadrante (onde e ) dentro do círculo de raio 1, já que . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais duplas, e provavelmente mudar para coordenadas polares pra facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Ela é definida por , o que significa que estamos olhando para o interior de um círculo de raio 1. Além disso, como e , estamos apenas no primeiro quadrante desse círculo. Então, estamos trabalhando com uma fatia do círculo que vai de a em coordenadas polares.

Passo 3

Vamos mudar a integral para coordenadas polares porque isso simplifica a descrição da região . Nas coordenadas polares, e . O elemento de área passa a ser . Nossa função fica .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. O raio varia de 0 a 1 (já que o raio do círculo é 1) e o ângulo varia de 0 a para cobrir o primeiro quadrante. Então, nossa integral dupla fica:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro:
Integrando de 0 a 1:
Então, a integral interna é:

Passo 6

Agora, vamos integrar isso em relação a :
Integrando e :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Substituindo:

Resposta

A integral dupla de sobre o domínio é .

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(a) .