Integrar
sobre:
(a) o domínio
(a) o domínio
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral dupla da função
sobre o domínio
, que é a região no primeiro quadrante (onde
e
) dentro do círculo de raio 1, já que
. Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais duplas, e provavelmente mudar para coordenadas polares pra facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Ela é definida por
, o que significa que estamos olhando para o interior de um círculo de raio 1. Além disso, como
e
, estamos apenas no primeiro quadrante desse círculo. Então, estamos trabalhando com uma fatia do círculo que vai de
a
em coordenadas polares.
Passo 3
Vamos mudar a integral para coordenadas polares porque isso simplifica a descrição da região
. Nas coordenadas polares,
e
. O elemento de área
passa a ser
. Nossa função
fica
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. O raio
varia de 0 a 1 (já que o raio do círculo é 1) e o ângulo
varia de 0 a
para cobrir o primeiro quadrante. Então, nossa integral dupla fica:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
Integrando
de 0 a 1:
Então, a integral interna é:
Passo 6
Agora, vamos integrar isso em relação a
:
Integrando
e
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Substituindo:
Resposta
A integral dupla de
sobre o domínio
é
.
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(b) o anel .
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Calcular a integral
, onde
é o domínio triangular de vértices
, e
. [Dica: Use as coordenadas polares].
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(b) o domínio .
(b) o domínio
Calcular as seguintes integrais usando coordenadas polares.
(a) .
(a)