Calcular a integral
, onde
é o domínio limitado por
,
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é delimitada pelas curvas
e
. Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que servem para calcular volumes ou áreas multiplicados por uma função. Vamos precisar entender como identificar a região de integração e escolher os limites certos para integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver
. Simplificando:
Então, as soluções são
e
. Agora, encontramos os pontos de interseção: quando
,
; e quando
,
. Assim, os pontos são
e
.
Passo 3
Agora que sabemos que a região
está entre
e
, e entre as curvas
(parte de baixo) e
(parte de cima), podemos configurar nossa integral dupla. A integral fica assim:
Isso significa que para cada
entre 0 e 2,
varia de
até
.
Passo 4
Vamos agora resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
. Mantendo
constante, integramos
em relação a
:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Vamos expandir os quadrados:
Subtraindo:
Então, a integral interna fica:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão em relação a
de 0 a 2:
Vamos quebrar isso em partes:
Calculando cada integral:
Passo 7
Aplicando os limites de 0 a 2:
Passo 8
Vamos simplificar os termos:
Primeiro, convertendo tudo para um denominador comum, que é 35:
Agora, somando:
Multiplicando pelo
:
Resposta
A integral dupla
vale
.
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Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto
.
Calcular a integral
, onde
é o domínio limitado pela elipse
1 no primeiro quadrante.