Calcular a integral , onde é o domínio limitado por ,

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pelas curvas e . Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que servem para calcular volumes ou áreas multiplicados por uma função. Vamos precisar entender como identificar a região de integração e escolher os limites certos para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver . Simplificando:
Então, as soluções são e . Agora, encontramos os pontos de interseção: quando , ; e quando , . Assim, os pontos são e .

Passo 3

Agora que sabemos que a região está entre e , e entre as curvas (parte de baixo) e (parte de cima), podemos configurar nossa integral dupla. A integral fica assim:
Isso significa que para cada entre 0 e 2, varia de até .

Passo 4

Vamos agora resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Mantendo constante, integramos em relação a :

Passo 5

Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Vamos expandir os quadrados:
Subtraindo:
Então, a integral interna fica:

Passo 6

Agora, integramos essa expressão em relação a de 0 a 2:
Vamos quebrar isso em partes:
Calculando cada integral:

Passo 7

Aplicando os limites de 0 a 2:

Passo 8

Vamos simplificar os termos:
Primeiro, convertendo tudo para um denominador comum, que é 35:
Agora, somando:
Multiplicando pelo :

Resposta

A integral dupla vale .

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