Calcular a integral integral duplaD x^2 y d x d y, onde D é o domínio limitado por y=2 x+1, y=x^2+1

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaD x^2 y , dx , dy, onde a região D é delimitada pelas curvas y = 2x + 1 e y = x^2 + 1. Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que servem para calcular volumes ou áreas multiplicados por uma função. Vamos precisar entender como identificar a região de integração e escolher os limites certos para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver 2x + 1 = x^2 + 1. Simplificando:
2x + 1 = x^2 + 1 2x = x^2 x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0
Então, as soluções são x = 0 e x = 2. Agora, encontramos os pontos de interseção: quando x = 0, y = 1; e quando x = 2, y = 5. Assim, os pontos são (0,1) e (2,5).

Passo 3

Agora que sabemos que a região D está entre x = 0 e x = 2, e entre as curvas y = x^2 + 1 (parte de baixo) e y = 2x + 1 (parte de cima), podemos configurar nossa integral dupla. A integral fica assim:
integralx=0^2 integraly=x^2+1^2x+1 x^2 y , dy , dx
Isso significa que para cada x entre 0 e 2, y varia de x^2 + 1 até 2x + 1.

Passo 4

Vamos agora resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y. Mantendo x constante, integramos x^2 y em relação a y:
integraly=x^2+1^2x+1 x^2 y , dy = x^2 [ y^22 ]x^2+1^2x+1 = x^2 ( (2x+1)^22 - (x^2+1)^22 )

Passo 5

Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
(2x+1)^2 - (x^2+1)^22
Vamos expandir os quadrados:
(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 (x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1
Subtraindo:
4x^2 + 4x + 1 - (x^4 + 2x^2 + 1) = -x^4 + 2x^2 + 4x
Então, a integral interna fica:
x^2 ( -x^4 + 2x^2 + 4x2 ) = -x^6 + 2x^4 + 4x^32

Passo 6

Agora, integramos essa expressão em relação a x de 0 a 2:
integral0^2 -x^6 + 2x^4 + 4x^32 , dx = 12 integral0^2 (-x^6 + 2x^4 + 4x^3) , dx
Vamos quebrar isso em partes:
12 ( -integral0^2 x^6 , dx + 2 integral0^2 x^4 , dx + 4 integral0^2 x^3 , dx )
Calculando cada integral:
integral x^6 , dx = x^77 integral x^4 , dx = x^55 integral x^3 , dx = x^44

Passo 7

Aplicando os limites de 0 a 2:
12 ( -[ 2^77 - 0 ] + 2 [ 2^55 - 0 ] + 4 [ 2^44 - 0 ] ) = 12 ( -1287 + 2 cdot 325 + 4 cdot 4 ) = 12 ( -1287 + 645 + 16 )

Passo 8

Vamos simplificar os termos:
Primeiro, convertendo tudo para um denominador comum, que é 35:
-1287 = -128 times 535 = -64035 645 = 64 times 735 = 44835 16 = 16 times 3535 = 56035
Agora, somando:
-64035 + 44835 + 56035 = -640 + 448 + 56035 = 36835
Multiplicando pelo 12:
12 cdot 36835 = 36870 = 18435

Resposta

A integral dupla integral duplaD x^2 y , dx , dy vale 18435.

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