Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de
pode ser escrita como
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituindo
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo
,
e
:
Simplificando, a equação da reta tangente fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então a sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Ou seja:
Usando novamente a fórmula ponto-inclinação com
e o ponto
:
Simplificando, a equação da reta normal fica:
Resposta
A reta tangente à curva
no ponto
é
e a reta normal é
.
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