Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de pode ser escrita como .

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo , e :
Simplificando, a equação da reta tangente fica:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então a sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Ou seja:
Usando novamente a fórmula ponto-inclinação com e o ponto :
Simplificando, a equação da reta normal fica:

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é e a reta normal é .

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