Quantas retas são tangentes a ambas as parábolas
Encontre as coordenadas dos pontos nos quais essas tangentes tocam as parábolas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir quantas retas são tangentes às duas parábolas
e
. Além disso, precisamos encontrar as coordenadas dos pontos onde essas retas tocam as parábolas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre tangentes a parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta que é tangente a uma parábola toca ela em exatamente um ponto. Então, queremos encontrar retas que tocam ambas as parábolas em apenas um ponto cada. Vamos considerar uma reta genérica na forma
, onde
é o coeficiente angular e
é o coeficiente linear.
Passo 3
Vamos começar encontrando as condições para que essa reta seja tangente à primeira parábola
. Igualando as duas equações:
Rearranjando, temos:
Para que essa equação tenha exatamente uma solução (ponto de tangência), o discriminante deve ser zero. O discriminante
de uma equação quadrática
é dado por
. Então:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda parábola
. Igualando as equações:
Rearranjando:
Novamente, o discriminante deve ser zero:
Passo 5
Agora temos duas equações para
:
Dividindo ambos os lados por 4:
Resolvendo para
:
Passo 6
Substituindo
em uma das equações iniciais, por exemplo:
Então, temos duas retas possíveis:
e
.
Passo 7
Agora vamos encontrar os pontos de tangência para cada reta e cada parábola.
Para a reta
e a parábola
:
Então, o ponto é
.
Para a reta
e a parábola
:
Então, o ponto é
.
Para a reta
e a parábola
:
Então, o ponto é
.
Para a reta
e a parábola
:
Então, o ponto é
.
Resposta
Existem duas retas que são tangentes a ambas as parábolas
e
:
-
Reta
- Toca a parábola
no ponto . - Toca a parábola
no ponto .
- Toca a parábola
-
Reta
- Toca a parábola
no ponto . - Toca a parábola
no ponto .
- Toca a parábola
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, onde
é o domínio limitado por
,
Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto
.