Quantas retas são tangentes a ambas as parábolas
Encontre as coordenadas dos pontos nos quais essas tangentes tocam as parábolas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir quantas retas são tangentes às duas parábolas e . Além disso, precisamos encontrar as coordenadas dos pontos onde essas retas tocam as parábolas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre tangentes a parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta que é tangente a uma parábola toca ela em exatamente um ponto. Então, queremos encontrar retas que tocam ambas as parábolas em apenas um ponto cada. Vamos considerar uma reta genérica na forma , onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear.

Passo 3

Vamos começar encontrando as condições para que essa reta seja tangente à primeira parábola . Igualando as duas equações:
Rearranjando, temos:
Para que essa equação tenha exatamente uma solução (ponto de tangência), o discriminante deve ser zero. O discriminante de uma equação quadrática é dado por . Então:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda parábola . Igualando as equações:
Rearranjando:
Novamente, o discriminante deve ser zero:

Passo 5

Agora temos duas equações para :
Dividindo ambos os lados por 4:
Resolvendo para :

Passo 6

Substituindo em uma das equações iniciais, por exemplo:
Então, temos duas retas possíveis: e .

Passo 7

Agora vamos encontrar os pontos de tangência para cada reta e cada parábola.
Para a reta e a parábola :
Então, o ponto é .
Para a reta e a parábola :
Então, o ponto é .
Para a reta e a parábola :
Então, o ponto é .
Para a reta e a parábola :
Então, o ponto é .

Resposta

Existem duas retas que são tangentes a ambas as parábolas e :
  1. Reta
    • Toca a parábola no ponto .
    • Toca a parábola no ponto .
  2. Reta
    • Toca a parábola no ponto .
    • Toca a parábola no ponto .

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