Calcular a integral , onde é o domínio limitado pela elipse 1 no primeiro quadrante.
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla , onde é a região no primeiro quadrante limitada pela elipse . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de coordenadas que simplifique a região de integração e facilitar o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, observamos que a região é uma elipse no primeiro quadrante. Para simplificar, vamos usar uma transformação que transforme essa elipse em um círculo unitário. Vamos definir:
onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a , já que estamos no primeiro quadrante.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O Jacobiano é dado por:
Usamos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1.
Passo 4
Com a mudança de coordenadas e o Jacobiano, a integral original se transforma em:
integral duplaD x y , dx , dy = integral0^pi2 integral0^1 (a r cos theta)(b r sin theta) cdot a b r , dr , dtheta
Simplificando os termos:
= a b integral0^pi2 integral0^1 a b r^3 cos theta sin theta , dr , dtheta
Passo 5
Vamos resolver a integral em r primeiro:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
Agora, a integral fica:
a b cdot a b cdot 14 integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta = a^2 b^24 integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta
Passo 6
Para resolver a integral em theta, usamos uma substituição simples:
integral cos theta sin theta , dtheta = 12 sin^2 theta
Então:
integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta = 12 [ sin^2 theta ]0^pi2 = 12 (1 - 0) = 12