Calcular a integral integral duplaD x y d x d y, onde D é o domínio limitado pela elipse x^2a^2+y^2b^2= 1 no primeiro quadrante.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaD x y , dx , dy, onde D é a região no primeiro quadrante limitada pela elipse x^2a^2+y^2b^2=1. Para resolver isso, vamos usar uma mudança de coordenadas que simplifique a região de integração e facilitar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que a região D é uma elipse no primeiro quadrante. Para simplificar, vamos usar uma transformação que transforme essa elipse em um círculo unitário. Vamos definir:
x = a r cos theta e y = b r sin theta
onde r varia de 0 a 1 e theta varia de 0 a pi2, já que estamos no primeiro quadrante.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O Jacobiano J é dado por:
J = | partial(x, y)partial(r, theta) | = | cc a cos theta & -a r sin theta b sin theta & b r cos theta | = a b r (cos^2 theta + sin^2 theta) = a b r
Usamos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1.

Passo 4

Com a mudança de coordenadas e o Jacobiano, a integral original se transforma em:
integral duplaD x y , dx , dy = integral0^pi2 integral0^1 (a r cos theta)(b r sin theta) cdot a b r , dr , dtheta
Simplificando os termos:
= a b integral0^pi2 integral0^1 a b r^3 cos theta sin theta , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral em r primeiro:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
Agora, a integral fica:
a b cdot a b cdot 14 integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta = a^2 b^24 integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta

Passo 6

Para resolver a integral em theta, usamos uma substituição simples:
integral cos theta sin theta , dtheta = 12 sin^2 theta
Então:
integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta = 12 [ sin^2 theta ]0^pi2 = 12 (1 - 0) = 12

Resposta

Substituindo de volta, a integral vale:
a^2 b^24 cdot 12 = a^2 b^28
Portanto, o valor da integral é a^2 b^28.

Exercícios relacionados