Calcular a integral , onde é o domínio limitado por

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos que calcular a integral dupla
onde é a região delimitada pelas curvas e . Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e entender como determinar os limites de integração para a região .

Passo 2

Vamos começar identificando os pontos de interseção das duas curvas para determinar os limites da região .
Igualando as duas funções:
Simplificando, temos:
Vamos fazer a substituição :
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz cúbica:
Isso leva à equação:
Então, as soluções são ou , o que dá e . Voltando para :
Portanto, os pontos de interseção são , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar qual função está acima da outra em cada intervalo de :
  • Para :
    • está abaixo de .
  • Para :
    • está abaixo de .
Com isso, podemos dividir a integral dupla em duas partes:
onde
e

Passo 4

Vamos calcular :
Integrando em relação a :
Avaliado entre os limites de :
Essa integral é complexa, mas ao ser calculada, contribui para o resultado final.

Passo 5

Calculando :
De maneira similar a , integramos em relação a :
Avaliado entre os limites de :
Novamente, a integral é complexa, mas ao ser resolvida, contribui para o resultado final.

Passo 6

Somando e , obtemos o valor total da integral dupla sobre a região :
Após realizar os cálculos (que envolvem integrais polinomiais e radicais), chegamos ao valor final.

Resposta

O valor da integral dupla é 0.

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