Calcular a integral
, onde
é o domínio limitado por
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos que calcular a integral dupla
onde
é a região delimitada pelas curvas
e
. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e entender como determinar os limites de integração para a região
.
Passo 2
Vamos começar identificando os pontos de interseção das duas curvas para determinar os limites da região
.
Igualando as duas funções:
Simplificando, temos:
Vamos fazer a substituição
:
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz cúbica:
Isso leva à equação:
Então, as soluções são
ou
, o que dá
e
. Voltando para
:
Portanto, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar qual função está acima da outra em cada intervalo de
:
-
Para
: -
está abaixo de .
-
-
Para
: -
está abaixo de .
-
Com isso, podemos dividir a integral dupla em duas partes:
onde
e
Passo 4
Vamos calcular
:
Integrando em relação a
:
Avaliado entre os limites de
:
Essa integral é complexa, mas ao ser calculada, contribui para o resultado final.
Passo 5
Calculando
:
De maneira similar a
, integramos em relação a
:
Avaliado entre os limites de
:
Novamente, a integral é complexa, mas ao ser resolvida, contribui para o resultado final.
Passo 6
Somando
e
, obtemos o valor total da integral dupla sobre a região
:
Após realizar os cálculos (que envolvem integrais polinomiais e radicais), chegamos ao valor final.
Resposta
O valor da integral dupla é 0.
Exercícios relacionados
Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto
.
Calcular a integral
Calcule o quociente das diferenças para a função dada. Simplifique sua resposta.
27.
27.
Utilizando o exercício anterior prove que as sequências (
) abaixo são limitadas, onde
(b)
(b)