Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto .

Passo 1

Beleza, temos que encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto . Vamos usar cálculo diferencial para achar a inclinação da reta tangente, e daí encontrar as equações que a gente precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da curva. Sabemos que , então:
Agora, precisamos achar a derivada de em relação a , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 3

Calculando a derivada de :
Essa é a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 4

Vamos encontrar a inclinação no ponto :
Agora que temos a inclinação da reta tangente ( ) e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da reta normal ( ), usamos que:
Agora, usando o ponto e a inclinação da normal, a equação fica:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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