Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, temos que encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto
. Vamos usar cálculo diferencial para achar a inclinação da reta tangente, e daí encontrar as equações que a gente precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da curva. Sabemos que
, então:
Agora, precisamos achar a derivada de
em relação a
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Essa é a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da curva.
Passo 4
Vamos encontrar a inclinação no ponto
:
Agora que temos a inclinação da reta tangente (
) e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da reta normal (
), usamos que:
Agora, usando o ponto
e a inclinação da normal, a equação fica:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.
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