Calcular a integral integral0^pi integral1^4|x-2| sin y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: .
Matéria envolvida: Integrais duplas, funções absolutas e integração em coordenadas cartesianas.
O que vamos precisar: Saber como lidar com integrais de funções compostas, especialmente com valores absolutos, e entender como integrar em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . O valor absoluto pode mudar o comportamento da função dependendo do valor de . Precisamos dividir a integral em partes onde é positivo e onde é negativo.

Passo 3

Encontramos o ponto onde , ou seja, . Nosso intervalo de integração para vai de 1 a 4. Então, vamos dividir a integral em duas partes:
  1. De a , onde é negativo, então .
  2. De a , onde é positivo, então .

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral dividida:
integral0^pi [ integral1^2 (2 - x) sin y , dx + integral2^4 (x - 2) sin y , dx ] dy

Passo 5

Vamos primeiro resolver as integrais internas em relação a integral1^2 (2 - x) , dx .
Para a primeira parte:
integral2^4 (x - 2) , dx
E para a segunda parte:

Passo 6

Calculamos cada integral em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos essas integrais na integral original:
integral0^pi (0.5 + 2) sin y , dy = integral0^pi 2.5 sin y , dy

Passo 8

A integral de 2.5 integral0^pi sin y , dy = 2.5 [-cos y]0^pi = 2.5 [-cos pi + cos 0] em relação a é . Então:

Passo 9

Sabemos que 2.5 [-(-1) + 1] = 2.5 (1 + 1) = 2.5 times 2 = 5 e . Substituindo:

Resposta

A integral vale 5.

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