Calcular a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
.
Matéria envolvida: Integrais duplas, funções absolutas e integração em coordenadas cartesianas.
O que vamos precisar: Saber como lidar com integrais de funções compostas, especialmente com valores absolutos, e entender como integrar em duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando:
. O valor absoluto pode mudar o comportamento da função dependendo do valor de
. Precisamos dividir a integral em partes onde
é positivo e onde é negativo.
Passo 3
Encontramos o ponto onde
, ou seja,
. Nosso intervalo de integração para
vai de 1 a 4. Então, vamos dividir a integral em duas partes:
- De
a , onde é negativo, então . - De
a , onde é positivo, então .
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral dividida:
Passo 5
Vamos primeiro resolver as integrais internas em relação a
.
Para a primeira parte:
E para a segunda parte:
Passo 6
Calculamos cada integral em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos essas integrais na integral original:
Passo 8
A integral de
em relação a
é
. Então:
Passo 9
Sabemos que
e
. Substituindo:
Resposta
A integral vale 5.
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é diferenciável?
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no ponto
.
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