Calcular a integral

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: .
Matéria envolvida: Integrais duplas, funções absolutas e integração em coordenadas cartesianas.
O que vamos precisar: Saber como lidar com integrais de funções compostas, especialmente com valores absolutos, e entender como integrar em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . O valor absoluto pode mudar o comportamento da função dependendo do valor de . Precisamos dividir a integral em partes onde é positivo e onde é negativo.

Passo 3

Encontramos o ponto onde , ou seja, . Nosso intervalo de integração para vai de 1 a 4. Então, vamos dividir a integral em duas partes:
  1. De a , onde é negativo, então .
  2. De a , onde é positivo, então .

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral dividida:

Passo 5

Vamos primeiro resolver as integrais internas em relação a .
Para a primeira parte:
E para a segunda parte:

Passo 6

Calculamos cada integral em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos essas integrais na integral original:

Passo 8

A integral de em relação a é . Então:

Passo 9

Sabemos que e . Substituindo:

Resposta

A integral vale 5.

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