Calcular a integral
, onde
é o domínio limitado por
no primeiro quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral dupla
. O domínio
é limitado por
,
e
no primeiro quadrante. Isso significa que vamos integrar a função
sobre essa área específica. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para
e
com base nas curvas que delimitam
.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o domínio
para visualizar melhor. No primeiro quadrante,
só toca o eixo em
, então na prática, nosso domínio está entre
(eixo
) e
. O limite para
vai de
até
, já que
é a fronteira vertical. Então, os limites são:
-
varia de a - Para cada
, varia de a
Passo 3
Agora que sabemos os limites, vamos configurar a integral dupla. Primeiro integramos em relação a
e depois em relação a
:
Aqui, fixamos um valor de
e somamos as contribuições de
dentro dos limites estabelecidos.
Passo 4
Vamos integrar a expressão interna em relação a
:
Calculando cada integral:
Então, a integral interna fica:
Passo 5
Agora, integramos em relação a
:
Calculando cada parte:
Somando os resultados:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Calcular a integral
, onde
é o domínio limitado pela elipse
1 no primeiro quadrante.
Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto
.
Calcule o valor dos seguintes limites:
© .
©
Calcular a integral
, onde
é o domínio limitado por
,