Calcular a integral , onde é o domínio limitado por no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla . O domínio é limitado por , e no primeiro quadrante. Isso significa que vamos integrar a função sobre essa área específica. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para e com base nas curvas que delimitam .

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o domínio para visualizar melhor. No primeiro quadrante, só toca o eixo em , então na prática, nosso domínio está entre (eixo ) e . O limite para vai de até , já que é a fronteira vertical. Então, os limites são:
  • varia de a
  • Para cada , varia de a

Passo 3

Agora que sabemos os limites, vamos configurar a integral dupla. Primeiro integramos em relação a e depois em relação a :
Aqui, fixamos um valor de e somamos as contribuições de dentro dos limites estabelecidos.

Passo 4

Vamos integrar a expressão interna em relação a :
Calculando cada integral:
Então, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
Somando os resultados:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Calcular a integral , onde é o domínio limitado pela elipse 1 no primeiro quadrante.
Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto .
Calcule o valor dos seguintes limites:
© .
Calcular a integral , onde é o domínio limitado por ,