Calcular a integral integral duplaD(x y+2 x^2) d x d y, onde D é o domínio limitado por y= raizx, y=-x, x=4 no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla integral duplaD(x y + 2 x^2) dx dy. O domínio D é limitado por y = raizx, y = -x e x = 4 no primeiro quadrante. Isso significa que vamos integrar a função x y + 2 x^2 sobre essa área específica. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para x e y com base nas curvas que delimitam D.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o domínio D para visualizar melhor. No primeiro quadrante, y = -x só toca o eixo em x = 0, então na prática, nosso domínio está entre y = 0 (eixo x) e y = raizx. O limite para x vai de 0 até 4, já que x = 4 é a fronteira vertical. Então, os limites são:
  • x varia de 0 a 4
  • Para cada x, y varia de 0 a raizx

Passo 3

Agora que sabemos os limites, vamos configurar a integral dupla. Primeiro integramos em relação a y e depois em relação a x:
integral0^4 integral0^raizx (x y + 2 x^2) dy dx
Aqui, fixamos um valor de x e somamos as contribuições de y dentro dos limites estabelecidos.

Passo 4

Vamos integrar a expressão interna em relação a y:
integral0^raizx (x y + 2 x^2) dy = x integral0^raizx y , dy + 2 x^2 integral0^raizx dy
Calculando cada integral:
x [y^22]0^raizx = x (x2) = x^22
2 x^2 [y]0^raizx = 2 x^2 raizx = 2 x^2.5
Então, a integral interna fica:
x^22 + 2 x^2.5

Passo 5

Agora, integramos em relação a x:
integral0^4 (x^22 + 2 x^2.5) dx = 12 integral0^4 x^2 dx + 2 integral0^4 x^2.5 dx
Calculando cada parte:
12 [x^33]0^4 = 12 (643) = 323
2 [x^3.53.5]0^4 = 2 (4^3.53.5) = 2 (1283.5) = 2567
Somando os resultados:
323 + 2567 = 224 + 76821 = 99221

Resposta

A integral dupla vale 99221.

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