Calcular integral duplaD x d A, onde D é a região do primeiro quadrante delimitada por x^2+y^2=4, x^2+y^2=1, y=raiz3 x e y=0.

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral dupla integral duplaD x , dA, onde a região D está no primeiro quadrante e é limitada pelas curvas x^2+y^2=4, x^2+y^2=1, y=raiz3 x e y=0. Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever a região D e escolher o sistema de coordenadas mais adequado, que provavelmente será o polar.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D. As equações x^2+y^2=4 e x^2+y^2=1 são círculos com raios 2 e 1, respectivamente, centrados na origem. As linhas y=0 (o eixo x) e y=raiz3 x formam os limites superior e inferior no primeiro quadrante. Então, D é a área entre os dois círculos, do eixo x até a linha y=raiz3x.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas polares. Em polares, x = r costheta e y = r sintheta. As equações dos círculos se tornam r = 2 e r = 1. A linha y=raiz3x em polares fica theta = arctan(raiz3) = pi3.

Passo 4

Agora, definimos os limites de integração. O raio r varia de 1 a 2, e o ângulo theta varia de 0 a pi3. A integral dupla em coordenadas polares fica:
integral duplaD x , dA = integral0^pi3 integral1^2 (r costheta) cdot r , dr , dtheta
Aqui, x = r costheta e dA = r , dr , dtheta.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em r primeiro:
integral1^2 r costheta cdot r , dr = costheta integral1^2 r^2 , dr = costheta [ r^33 ]1^2 = costheta ( 83 - 13 ) = costheta cdot 73
Agora, a integral externa em theta:
73 integral0^pi3 costheta , dtheta = 73 [ sintheta ]0^pi3 = 73 ( sinpi3 - sin 0 ) = 73 ( raiz32 - 0 ) = 7raiz36

Resposta

O valor da integral é 7raiz36.

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