Calcular
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada por
e
.
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a integral dupla
, onde a região
está no primeiro quadrante e é limitada pelas curvas
,
,
e
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever a região
e escolher o sistema de coordenadas mais adequado, que provavelmente será o polar.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. As equações
e
são círculos com raios 2 e 1, respectivamente, centrados na origem. As linhas
(o eixo x) e
formam os limites superior e inferior no primeiro quadrante. Então,
é a área entre os dois círculos, do eixo x até a linha
.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas polares. Em polares,
e
. As equações dos círculos se tornam
e
. A linha
em polares fica
.
Passo 4
Agora, definimos os limites de integração. O raio
varia de 1 a 2, e o ângulo
varia de 0 a
. A integral dupla em coordenadas polares fica:
Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em
primeiro:
Agora, a integral externa em
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcular
, sendo
a região limitada pela elipse
.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para deter soluções quando
.
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
A região delimitada por e
.
A região delimitada por
Calcular
, sendo
a região delimitada por
.