Calcular , onde é a região do primeiro quadrante delimitada por e .

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral dupla , onde a região está no primeiro quadrante e é limitada pelas curvas , , e . Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever a região e escolher o sistema de coordenadas mais adequado, que provavelmente será o polar.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . As equações e são círculos com raios 2 e 1, respectivamente, centrados na origem. As linhas (o eixo x) e formam os limites superior e inferior no primeiro quadrante. Então, é a área entre os dois círculos, do eixo x até a linha .

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas polares. Em polares, e . As equações dos círculos se tornam e . A linha em polares fica .

Passo 4

Agora, definimos os limites de integração. O raio varia de 1 a 2, e o ângulo varia de 0 a . A integral dupla em coordenadas polares fica:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em primeiro:
Agora, a integral externa em :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcular , sendo a região limitada pela elipse .
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para deter soluções quando .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
A região delimitada por e .
Calcular , sendo a região delimitada por .