Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
A região delimitada por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando integrais duplas para encontrar a área da região delimitada pelas curvas , e . Primeiro, precisamos entender como essas curvas se comportam e onde elas se interceptam para determinar os limites de integração.

Passo 2

Vamos começar esboçando as curvas para visualizar melhor a região:
  1. é a parte superior de um círculo com raio 2 e centro na origem.
  2. é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
  3. é outra linha reta que também passa pela origem, mas com uma inclinação menor, correspondente a 30 graus.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção entre essas curvas para determinar os limites de integração. Vamos resolver e .
Para :
Então, a interseção é em .
Para :
Então, a interseção é em .

Passo 4

Com os pontos de interseção determinados, sabemos que a região de interesse está entre e , e entre as curvas e , acima de e abaixo de .

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla para calcular a área. A área pode ser expressa como:
Aqui, estamos integrando de até para cada no intervalo de a .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:

Passo 7

Agora, substituímos isso na integral externa:
Podemos tirar a constante para fora da integral:

Passo 8

Vamos calcular a integral de em relação a :
Aplicando os limites:

Passo 9

Agora, multiplicamos pelo fator que tiramos antes:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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Calcular , sendo a região delimitada por .
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