Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
A região delimitada por
e
.
A região delimitada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando integrais duplas para encontrar a área da região delimitada pelas curvas
,
e
. Primeiro, precisamos entender como essas curvas se comportam e onde elas se interceptam para determinar os limites de integração.
Passo 2
Vamos começar esboçando as curvas para visualizar melhor a região:
-
é a parte superior de um círculo com raio 2 e centro na origem. -
é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. -
é outra linha reta que também passa pela origem, mas com uma inclinação menor, correspondente a 30 graus.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção entre essas curvas para determinar os limites de integração. Vamos resolver
e
.
Para
:
Então, a interseção é em
.
Para
:
Então, a interseção é em
.
Passo 4
Com os pontos de interseção determinados, sabemos que a região de interesse está entre
e
, e entre as curvas
e
, acima de
e abaixo de
.
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla para calcular a área. A área
pode ser expressa como:
Aqui, estamos integrando
de
até
para cada
no intervalo de
a
.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 7
Agora, substituímos isso na integral externa:
Podemos tirar a constante para fora da integral:
Passo 8
Vamos calcular a integral de
em relação a
:
Aplicando os limites:
Passo 9
Agora, multiplicamos pelo fator que tiramos antes:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcular
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada por
e
.
Calcular
, sendo
a região limitada pela elipse
.
Calcular
, sendo
a região delimitada por
.
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.