Calcular integral duplaD x d A, sendo D a região delimitada por x^2+y^2-4 x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaD x , dA, onde D é a região delimitada pela equação x^2 + y^2 - 4x = 0. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente integrais duplas em coordenadas cartesianas. Vamos precisar entender como descrever a região D e depois configurar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que tipo de forma a equação x^2 + y^2 - 4x = 0 representa. Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
x^2 - 4x + y^2 = 0 (x - 2)^2 + y^2 = 4
Isso mostra que D é um círculo com centro em (2, 0) e raio 2.

Passo 3

Agora que sabemos que D é um círculo de raio 2 centrado em (2, 0), podemos pensar em mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Porém, como o centro não está na origem, fica mais complicado. Então, vamos manter em coordenadas cartesianas.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. O círculo tem equação (x-2)^2 + y^2 = 4. Para cada x, os valores de y vão de:
y = -raiz4 - (x - 2)^2 até y = raiz4 - (x - 2)^2 é
E x varia de 0 a 4, já que o círculo está centrado em 2 e tem raio 2.

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla:
integral duplaD x , dA = integral0^4 integral-raiz4 - (x - 2)^2^raiz4 - (x - 2)^2 x , dy , dx
Vamos resolver a integral interna em y:
integral-raiz4 - (x - 2)^2^raiz4 - (x - 2)^2 x , dy = x [ y ]-raiz4 - (x - 2)^2^raiz4 - (x - 2)^2 = x ( 2raiz4 - (x - 2)^2 )
Então, a integral vira:
2 integral0^4 x raiz4 - (x - 2)^2 , dx
Fazendo uma mudança de variável u = x - 2, temos:
u = x - 2 Rightarrow du = dx x = u + 2
Os limites de u vão de -2 a 2. A integral fica:
2 integral-2^2 (u + 2) raiz4 - u^2 , du
Essa integral é simétrica para a parte ímpar u raiz4 - u^2, que cancela, restando:
2 times 2 integral0^2 2 raiz4 - u^2 , du = 8 times pi (2)^22 = 8 times 2pi = 16pi

Resposta

A integral dupla integral duplaD x , dA vale 16,pi.

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