Calcular , sendo a região delimitada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é a região delimitada pela equação . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente integrais duplas em coordenadas cartesianas. Vamos precisar entender como descrever a região e depois configurar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que tipo de forma a equação representa. Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
Isso mostra que é um círculo com centro em e raio .

Passo 3

Agora que sabemos que é um círculo de raio centrado em , podemos pensar em mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Porém, como o centro não está na origem, fica mais complicado. Então, vamos manter em coordenadas cartesianas.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. O círculo tem equação . Para cada , os valores de vão de:
é
E varia de a , já que o círculo está centrado em e tem raio .

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna em :
Então, a integral vira:
Fazendo uma mudança de variável , temos:
Os limites de vão de a . A integral fica:
Essa integral é simétrica para a parte ímpar , que cancela, restando:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
A região delimitada por e .
Calcular , onde é a região do primeiro quadrante delimitada por e .
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com e o outro com .
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com e o outro com .