Calcular
, sendo
a região delimitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde
é a região delimitada pela equação
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente integrais duplas em coordenadas cartesianas. Vamos precisar entender como descrever a região
e depois configurar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que tipo de forma a equação
representa. Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
Isso mostra que
é um círculo com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora que sabemos que
é um círculo de raio
centrado em
, podemos pensar em mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Porém, como o centro não está na origem, fica mais complicado. Então, vamos manter em coordenadas cartesianas.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. O círculo tem equação
. Para cada
, os valores de
vão de:
E
varia de
a
, já que o círculo está centrado em
e tem raio
.
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna em
:
Então, a integral vira:
Fazendo uma mudança de variável
, temos:
Os limites de
vão de
a
. A integral fica:
Essa integral é simétrica para a parte ímpar
, que cancela, restando:
Resposta
A integral dupla
vale
.
Exercícios relacionados
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
A região delimitada por e
.
A região delimitada por
Calcular
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada por
e
.
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.