Calcular , onde é o triângulo limitado por e os eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral dupla:
O domínio dessa integral é um triângulo delimitado pela reta e pelos eixos coordenados. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de variáveis, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio . O triângulo é limitado pela reta e pelos eixos e . Para visualizar melhor, vamos encontrar os pontos de interseção dessa reta com os eixos:
  • Quando :
  • Quando :
Então, os vértices do triângulo são , e .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Para integrais duplas sobre um triângulo, normalmente integramos uma variável de cada vez. Vamos integrar de até , e de até .
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos observar o integrando: . Parece complicado, mas vamos tentar simplificar fazendo uma substituição de variáveis.
Vamos definir:
Isso pode nos ajudar a simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 5

Com as substituições e , precisamos encontrar o jacobiano para mudar as variáveis na integral. Vamos calcular as derivadas parciais:
O jacobiano é:
Então, o determinante do jacobiano é 1.

Passo 6

Agora, precisamos expressar os limites de integração em termos de e . Vamos transformar as equações das fronteiras do triângulo:
  • Quando , e
  • Quando , e
  • Quando , substituindo na definição de :
Portanto, varia de 0 a (já que vai até 2).

Passo 7

Com isso, a integral muda para:
Como o jacobiano é 1, não precisamos multiplicar por nada.

Passo 8

Simplificando a expressão dentro da integral:
Podemos reescrever isso como:

Passo 9

A integral agora é:
Vamos tentar resolver a integral interna em relação a . Para isso, podemos fazer outra substituição para simplificar.

Passo 10

Vamos definir:
Calculando a derivada:
Agora, substituímos na integral:
Quando :
Quando :

Passo 11

Substituindo na integral interna:
Simplificando:

Passo 12

Simplificando mais:

Passo 13

A integral agora está na forma:
Essa integral não possui uma primitiva elementar, ou seja, não podemos expressá-la em termos de funções básicas. Portanto, vamos deixar a resposta nessa forma ou utilizar métodos numéricos para calcular o valor.

Resposta

A integral dupla é igual a:

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