Calcular integral duplaD raiz2 x+3 yx+y e^raizx+y2 x+3 y d x d y, onde D é o triângulo limitado por y= 4-2 x3 e os eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral dupla:
integral duplaD raiz2x + 3yx+y , e^raizx+y2x + 3y , dx , dy
O domínio dessa integral é um triângulo delimitado pela reta e pelos eixos coordenados. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de variáveis, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio . O triângulo é limitado pela reta e pelos eixos e . Para visualizar melhor, vamos encontrar os pontos de interseção dessa reta com os eixos:
  • Quando :
  • Quando :
Então, os vértices do triângulo são , e .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Para integrais duplas sobre um triângulo, normalmente integramos uma variável de cada vez. Vamos integrar integral0^2 integral0^4 - 2x3 raiz2x + 3yx+y , e^raizx+y2x + 3y , dy , dx de até , e de até .
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos observar o integrando: u = x + y v = 2x + 3y . Parece complicado, mas vamos tentar simplificar fazendo uma substituição de variáveis.
Vamos definir:
Isso pode nos ajudar a simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 5

Com as substituições partial upartial x = 1, partial upartial y = 1 partial vpartial x = 2, partial vpartial y = 3 e J = 1 & 1 2 & 3 = (1)(3) - (1)(2) = 1 , precisamos encontrar o jacobiano para mudar as variáveis na integral. Vamos calcular as derivadas parciais:
O jacobiano é:
Então, o determinante do jacobiano é 1.

Passo 6

Agora, precisamos expressar os limites de integração em termos de e . Vamos transformar as equações das fronteiras do triângulo:
  • Quando , e
  • Quando , e
  • Quando , substituindo na definição de :
Portanto, varia de 0 a (já que vai até 2).

Passo 7

Com isso, a integral muda para:
integralu=0^2 integralv=2u^3u raizvu , e^raizuv , dv , du
Como o jacobiano é 1, não precisamos multiplicar por nada.

Passo 8

Simplificando a expressão dentro da integral:
raizvu , e^raizuv = ( vu )^1/2 , e^( uv )^1/2
Podemos reescrever isso como:
raizvraizu , e^raizuraizv

Passo 9

A integral agora é:
integral0^2 integral2u^3u raizvraizu , e^raizuraizv , dv , du
Vamos tentar resolver a integral interna em relação a . Para isso, podemos fazer outra substituição para simplificar.

Passo 10

Vamos definir:
w = raizuraizv Rightarrow v = uw^2
Calculando a derivada:
dv = -2uw^3 , dw
Agora, substituímos na integral:
Quando w = raizuraiz2u = 1raiz2 :
w = raizuraiz3u = 1raiz3
Quando :

Passo 11

Substituindo na integral interna:
integralw=1raiz2^1raiz3 raizuw^2raizu , e^w ( -2uw^3 ) , dw
Simplificando:
integral1raiz2^1raiz3 raizuw^2raizu , e^w ( -2uw^3 ) , dw = integral1raiz3^1raiz2 raizuw^2raizu , e^w 2uw^3 , dw

Passo 12

Simplificando mais:
raizuw^2raizu = raizuwraizu = 1w Rightarrow integral1raiz3^1raiz2 1w , e^w 2uw^3 , dw = 2u integral1raiz3^1raiz2 e^ww^4 , dw

Passo 13

A integral agora está na forma:
2u integral1raiz3^1raiz2 e^ww^4 , dw
Essa integral não possui uma primitiva elementar, ou seja, não podemos expressá-la em termos de funções básicas. Portanto, vamos deixar a resposta nessa forma ou utilizar métodos numéricos para calcular o valor.

Resposta

A integral dupla é igual a:
2 integral0^2 u ( integral1raiz3^1raiz2 e^ww^4 , dw ) du

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