Calcular , onde é o triângulo limitado por e os eixos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral dupla:
O domínio dessa integral é um triângulo delimitado pela reta e pelos eixos coordenados. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de variáveis, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio . O triângulo é limitado pela reta e pelos eixos e . Para visualizar melhor, vamos encontrar os pontos de interseção dessa reta com os eixos:
Quando :
Quando : →
Então, os vértices do triângulo são , e .
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Para integrais duplas sobre um triângulo, normalmente integramos uma variável de cada vez. Vamos integrar de até , e de até .
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos observar o integrando: . Parece complicado, mas vamos tentar simplificar fazendo uma substituição de variáveis.
Vamos definir:
Isso pode nos ajudar a simplificar a expressão dentro da integral.
Passo 5
Com as substituições e , precisamos encontrar o jacobiano para mudar as variáveis na integral. Vamos calcular as derivadas parciais:
O jacobiano é:
Então, o determinante do jacobiano é 1.
Passo 6
Agora, precisamos expressar os limites de integração em termos de e . Vamos transformar as equações das fronteiras do triângulo:
Quando , e →
Quando , e →
Quando , substituindo na definição de :
Portanto, varia de 0 a (já que vai até 2).
Passo 7
Com isso, a integral muda para:
Como o jacobiano é 1, não precisamos multiplicar por nada.
Passo 8
Simplificando a expressão dentro da integral:
Podemos reescrever isso como:
Passo 9
A integral agora é:
Vamos tentar resolver a integral interna em relação a . Para isso, podemos fazer outra substituição para simplificar.
Passo 10
Vamos definir:
Calculando a derivada:
Agora, substituímos na integral:
Quando :
Quando :
Passo 11
Substituindo na integral interna:
Simplificando:
Passo 12
Simplificando mais:
Passo 13
A integral agora está na forma:
Essa integral não possui uma primitiva elementar, ou seja, não podemos expressá-la em termos de funções básicas. Portanto, vamos deixar a resposta nessa forma ou utilizar métodos numéricos para calcular o valor.