(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e .
18.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores tangente unitário e normal unitário para a curva dada por , onde . Isso está ligado ao estudo de curvas no espaço usando cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas, normais e entender como normalizar vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de em relação a , que nos dá o vetor velocidade, ou seja, o vetor tangente não unitário.
Calculando cada componente:
Simplificando:

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor tangente unitário , a gente normaliza . Isso significa dividir pelo seu módulo (comprimento).
Primeiro, calculamos o m��dulo de :
Sabemos que , então:
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Para encontrar o vetor normal unitário , precisamos calcular a derivada de com relação a e depois normalizar esse vetor.
Primeiro, vamos derivar :
Agora, calculamos o módulo de :
Então, o vetor normal unitário é:

Resposta

Os vetores tangente e normal unitários são:

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Calcular , onde é o triângulo limitado por e os eixos coordenados.
Calcular , onde é a região no semiplano superior do plano e esta limitada pelas parábolas e o eixo . (use a mudança de variáveis
Calcular onde
Calcular , onde é o quadrilátero de vêrtices , .