(a) Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
18.
18.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores tangente unitário
e normal unitário
para a curva dada por
, onde
. Isso está ligado ao estudo de curvas no espaço usando cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas, normais e entender como normalizar vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor velocidade, ou seja, o vetor tangente não unitário.
Calculando cada componente:
Simplificando:
Passo 3
Agora, para encontrar o vetor tangente unitário
, a gente normaliza
. Isso significa dividir
pelo seu módulo (comprimento).
Primeiro, calculamos o m��dulo de
:
Sabemos que
, então:
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Para encontrar o vetor normal unitário
, precisamos calcular a derivada de
com relação a
e depois normalizar esse vetor.
Primeiro, vamos derivar
:
Agora, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor normal unitário é:
Resposta
Os vetores tangente e normal unitários são: