(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).
18. r(t) = <t^2, sen(t) - t cos(t), cos(t) + t sen(t)>, t > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores tangente unitário T(t) e normal unitário N(t) para a curva dada por , onde . Isso está ligado ao estudo de curvas no espaço usando cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas, normais e entender como normalizar vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de r(t) em relação a t, que nos dá o vetor velocidade, ou seja, o vetor tangente não unitário.
Calculando cada componente:
Simplificando:

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor tangente unitário T(t), a gente normaliza . Isso significa dividir pelo seu módulo (comprimento).
Primeiro, calculamos o m��dulo de :
Sabemos que , então:
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Para encontrar o vetor normal unitário N(t), precisamos calcular a derivada de T(t) com relação a t e depois normalizar esse vetor.
Primeiro, vamos derivar T(t):
Agora, calculamos o módulo de :
Então, o vetor normal unitário é:

Resposta

Os vetores tangente e normal unitários são:

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