Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla , onde a região é definida por com e . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e mudanças de coordenadas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A inequação define uma região no primeiro quadrante onde a soma dos cubos de e é menor ou igual a 1. Para simplificar a integração, vamos fazer uma mudança de variável. Seja e . Assim, a região se transforma em com e .
Passo 3
Agora, precisamos determinar o jacobiano da transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é dado por:
Como J = | 13u^-2/3 times 13v^-2/3 - 0 times 0 | = 19u^-2/3v^-2/3 e , temos:
Portanto, o jacobiano é:
Passo 4
Substituindo as variáveis na integral original, temos:
integral duplaD x^2 y^2 raiz1 - x^2 - y^2 , dx , dy = integral duplau+v <= 1 ( u^2/3 ) ( v^2/3 ) raiz1 - u^2/3 - v^2/3 times 19u^-2/3v^-2/3 , du , dv
Simplificando:
= 19 integral duplau+v <= 1 raiz1 - u^2/3 - v^2/3 , du , dv
Passo 5
Para facilitar a integração, podemos utilizar coordenadas polares ou explorar simetrias na região . No entanto, devido à complexidade da função dentro da raiz, a integral pode não ter uma solução elementar e pode ser mais adequada para ser avaliada numericamente.
Passo 6
Utilizando métodos numéricos ou softwares de cálculo simbólico, podemos aproximar o valor da integral. Após realizar os cálculos, obtemos: