Calcular en

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla , onde a região é definida por com e . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e mudanças de coordenadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A inequação define uma região no primeiro quadrante onde a soma dos cubos de e é menor ou igual a 1. Para simplificar a integração, vamos fazer uma mudança de variável. Seja e . Assim, a região se transforma em com e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar o jacobiano da transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é dado por:
Como e , temos:
Portanto, o jacobiano é:

Passo 4

Substituindo as variáveis na integral original, temos:
Simplificando:

Passo 5

Para facilitar a integração, podemos utilizar coordenadas polares ou explorar simetrias na região . No entanto, devido à complexidade da função dentro da raiz, a integral pode não ter uma solução elementar e pode ser mais adequada para ser avaliada numericamente.

Passo 6

Utilizando métodos numéricos ou softwares de cálculo simbólico, podemos aproximar o valor da integral. Após realizar os cálculos, obtemos:

Resposta

O valor aproximado da integral é .

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Em cada item, diga se existe ou não o limite. Se existir, escreva o valor do limite.
Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de sobre dominios que se croquizarán. Expresar dichas integrales dobles por integrales iteradas en el orden inverso de integración:
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