Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de f(x ; y) sobre dominios que se croquizarán. Expresar dichas integrales dobles por integrales iteradas en el orden inverso de integración: integral0^2 d y integraly^2^2 y f(x, y) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra a gente trocar a ordem de integração de uma integral dupla. Estamos lidando com integrais iteradas, tipo integral0^2 dy integraly^2^2 y f(x, y) dx. Para isso, vamos precisar entender bem o domínio de integração e como reorganizar os limites das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região onde a gente está integrando. Temos y variando de 0 a 2 e, para cada y, x varia de y^2 até 2y. Então, nosso domínio é definido por:
0 <= y <= 2 y^2 <= x <= 2y
Vamos desenhar isso no plano XY pra visualizar melhor.

Passo 3

Ao desenhar, notamos que x = y^2 é uma parábola que abre para a direita e x = 2y é uma reta. Vamos achar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de x.
Igualando as duas equações:
y^2 = 2y y^2 - 2y = 0 y(y - 2) = 0
Então, y = 0 e y = 2. Esses são os pontos onde as duas curvas se encontram.

Passo 4

Agora, queremos reescrever a integral com a ordem de integração invertida, ou seja, integrando primeiro em y e depois em x. Para isso, precisamos determinar para cada x quais são os limites de y.
Observando o domínio:
  • x varia de 0 a 4 (pois quando y=2, x=2 times 2 = 4).
  • Para cada x, y varia da raiz quadrada de x até x/2.
Então, os novos limites são:
0 <= x <= 4 raizx <= y <= x2

Resposta

A integral dupla com a ordem de integração invertida fica:
integral0^4 dx integralraizx^x2 f(x, y) dy

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