Considere a função f(x)=x^2-2 x. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) em (1, f(1)). Para isso, siga os seguintes passos: (0,25 pts) Calcule o valor de lim x 1 f(x)-f(1)x-1. Esse valor é o coeficiente angular da reta tangente,
também conhecido como a derivada de f(x) em x=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente está lidando com derivadas, que é parte do cálculo. O objetivo é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos precisar calcular o limite que representa a derivada dessa função em .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de f(1) = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1 para saber o ponto exato onde a reta tangente vai tocar o gráfico. Substituindo por 1 na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite que nos dá a derivada de f'(1) = limx to 1 f(x) - f(1)x - 1 em f'(1) = limx to 1 (x^2 - 2x) - (-1)x - 1 = limx to 1 x^2 - 2x + 1x - 1 . A derivada basicamente nos dá a inclinação da reta tangente. A fórmula do limite é:
Substituindo e :

Passo 4

Vamos simplificar o numerador da fração:
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
Então, substituindo de volta:
f'(1) = limx to 1 (x - 1)^2x - 1 = limx to 1 (x - 1) = 1 - 1 = 0
Portanto, a inclinação da reta tangente é 0.

Passo 5

Com a inclinação y - y1 = m(x - x1) e o ponto de tangência y - (-1) = 0(x - 1) Rightarrow y + 1 = 0 Rightarrow y = -1 , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de em é .

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