Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente marcar um ponto que está nas coordenadas polares
. Depois, temos que encontrar mais dois pares de coordenadas polares para o mesmo ponto: um com
e outro com
. Vamos precisar entender como funcionam as coordenadas polares e como podemos representar o mesmo ponto de diferentes maneiras usando
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, um ponto é descrito por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem (polo). -
é o ângulo que a linha que liga o ponto à origem faz com o eixo positivo dos (eixo polar).
Normalmente,
é positivo, e
varia de acordo com a posição do ponto.
Passo 3
Agora, olhando para o ponto dado
, vemos que
. Geralmente,
é positivo, mas quando ele é negativo, a interpretação muda um pouco. Um
negativo significa que o ponto está na direção oposta do ângulo
dado.
Então, para marcar esse ponto no plano, invés de ir para
na direção de
, vamos ir para
na direção oposta, que é
. Mas como os ângulos se repetem a cada
,
é equivalente a
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar dois outros pares de coordenadas polares para o mesmo ponto:
-
Com
: Brasília - Já vimos que
é o mesmo que na direção de . - Então, uma das coordenadas será
.
- Já vimos que
-
Com
: Podemos adicionar ao ângulo para encontrar outra representação. - Originalmente, temos
. - Adicionando
, fica .
- Originalmente, temos
Passo 5
Recapitulando:
- O ponto original é
. - Com
: . - Com
: .
Essas são as duas outras formas de representar o mesmo ponto nas coordenadas polares, um com
positivo e outro com
negativo.
Resposta
As coordenadas polares do mesmo ponto são:
- Com
: - Com
:
Exercícios relacionados
Calcular
, sendo
a região delimitada por
.
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
A região delimitada por e
.
A região delimitada por
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.
Encontre as coordenadas polares de cada ponto, em que
e
.