Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com r > 0 e o outro com r < 0.
(-2, 3 pi / 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente marcar um ponto que está nas coordenadas polares . Depois, temos que encontrar mais dois pares de coordenadas polares para o mesmo ponto: um com e outro com . Vamos precisar entender como funcionam as coordenadas polares e como podemos representar o mesmo ponto de diferentes maneiras usando r e theta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, um ponto é descrito por (r, θ), onde:
  • r é a distância do ponto até a origem (polo).
  • theta é o ângulo que a linha que liga o ponto à origem faz com o eixo positivo dos x (eixo polar).
Normalmente, r é positivo, e theta varia de acordo com a posição do ponto.

Passo 3

Agora, olhando para o ponto dado , vemos que . Geralmente, r é positivo, mas quando ele é negativo, a interpretação muda um pouco. Um r negativo significa que o ponto está na direção oposta do ângulo theta dado.
Então, para marcar esse ponto no plano, invés de ir para na direção de , vamos ir para na direção oposta, que é . Mas como os ângulos se repetem a cada , é equivalente a pi / 2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar dois outros pares de coordenadas polares para o mesmo ponto:
  1. Com : Brasília
    • Já vimos que é o mesmo que na direção de pi / 2.
    • Então, uma das coordenadas será .
  2. Com : Podemos adicionar ao ângulo para encontrar outra representação.
    • Originalmente, temos .
    • Adicionando , fica .

Passo 5

Recapitulando:
  • O ponto original é .
  • Com : .
  • Com : .
Essas são as duas outras formas de representar o mesmo ponto nas coordenadas polares, um com r positivo e outro com r negativo.

Resposta

As coordenadas polares do mesmo ponto são:
  1. Com :
  2. Com :

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