Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos marcar o ponto que tem coordenadas polares
e depois encontrar dois outros pares de coordenadas polares para o mesmo ponto: um onde
e outro onde
. Para isso, vamos usar os conceitos de coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, um ponto é definido por duas coisas: a distância
do ponto até a origem (o ponto de referência) e o ângulo
que essa linha forma com o eixo positivo x. No nosso caso, o ponto dado é
, onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos marcar esse ponto no sistema de coordenadas polares. O valor de
significa que o ponto está a 3 unidades de distância da origem. O ângulo
indica que devemos girar
radianos a partir do eixo positivo x, ou seja, no sentido horário.
Passo 4
Para encontrar outros pares de coordenadas polares para o mesmo ponto, podemos utilizar duas estratégias:
- Manter
positivo e ajustar o ângulo adicionando . - Fazer
negativo e ajustar o ângulo adicionando .
Passo 5
Primeiro par com
:
Vamos adicionar ao ângulo original para encontrar um ângulo equivalente que mantém
positivo.
Vamos adicionar
Então, o primeiro par é
.
Passo 6
Segundo par com
:
Agora, vamos tornar negativo e ajustar o ângulo adicionando
para manter a posição do ponto.
Agora, vamos tornar
Então, o segundo par é
.
Resposta
Os dois outros pares de coordenadas polares para o ponto são:
e
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Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.
Calcular
, sendo
a região delimitada por
.
Encontre as coordenadas polares de cada ponto, em que
e
.
Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.