Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com e o outro com .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos marcar o ponto que tem coordenadas polares e depois encontrar dois outros pares de coordenadas polares para o mesmo ponto: um onde e outro onde . Para isso, vamos usar os conceitos de coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, um ponto é definido por duas coisas: a distância do ponto até a origem (o ponto de referência) e o ângulo que essa linha forma com o eixo positivo x. No nosso caso, o ponto dado é , onde e .

Passo 3

Agora, vamos marcar esse ponto no sistema de coordenadas polares. O valor de significa que o ponto está a 3 unidades de distância da origem. O ângulo indica que devemos girar radianos a partir do eixo positivo x, ou seja, no sentido horário.

Passo 4

Para encontrar outros pares de coordenadas polares para o mesmo ponto, podemos utilizar duas estratégias:
  1. Manter positivo e ajustar o ângulo adicionando .
  2. Fazer negativo e ajustar o ângulo adicionando .

Passo 5

Primeiro par com :
Vamos adicionar ao ângulo original para encontrar um ângulo equivalente que mantém positivo.
Então, o primeiro par é .

Passo 6

Segundo par com :
Agora, vamos tornar negativo e ajustar o ângulo adicionando para manter a posição do ponto.
Então, o segundo par é .

Resposta

Os dois outros pares de coordenadas polares para o ponto são:
e

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Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com e o outro com .
Calcular , sendo a região delimitada por .
Encontre as coordenadas polares de cada ponto, em que e .
Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.