Calcular a integral , onde é a região delimitada pelas curvas e .

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pelas curvas e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas, para achar essa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Ela é limitada pelas curvas (que é uma parábola) e (que é uma reta). Para visualizar melhor, vamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam.

Passo 3

Vamos igualar as duas equações para achar os pontos de interseção:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, ou . Agora que temos os valores de , vamos achar os correspondentes de .

Passo 4

Quando , substituindo na equação :
Quando , substituindo na mesma equação:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora, vamos determinar quais limites usar para a integral dupla. Podemos integrar em primeiro ou em primeiro. Vamos optar por integrar em primeiro. Para isso, precisamos expressar os limites de em termos de .
Para cada entre e , varia da parábola até a reta .

Passo 6

Então, nossa integral dupla fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Integrando termo a termo:

Passo 8

Agora, substituímos os limites de :
Para :
Para :
Calculando a diferença:

Passo 9

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de a :
Integrando termo a termo:
Simplificando:

Passo 10

Substituindo :
Substituindo , todos os termos são zero.

Resposta

A integral dupla vale .

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