Calcular a integral integral duplaD(x^2+3 y) d A, onde D é a região delimitada pelas curvas y=x^2 e y=2 x.

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral dupla integral duplaD(x^2+3 y) d A, onde a região D é delimitada pelas curvas y=x^2 e y=2 x. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas, para achar essa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D onde vamos integrar. Ela é limitada pelas curvas y = x^2 (que é uma parábola) e y = 2x (que é uma reta). Para visualizar melhor, vamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam.

Passo 3

Vamos igualar as duas equações para achar os pontos de interseção:
x^2 = 2x
Subtraindo 2x de ambos os lados:
x^2 - 2x = 0
x(x - 2) = 0
Então, x = 0 ou x = 2. Agora que temos os valores de x, vamos achar os correspondentes de y.

Passo 4

Quando x = 0, substituindo na equação y = 2x:
y = 2(0) = 0
Quando x = 2, substituindo na mesma equação:
y = 2(2) = 4
Então, os pontos de interseção são (0, 0) e (2, 4).

Passo 5

Agora, vamos determinar quais limites usar para a integral dupla. Podemos integrar em x primeiro ou em y primeiro. Vamos optar por integrar em x primeiro. Para isso, precisamos expressar os limites de x em termos de y.
Para cada y entre 0 e 4, x varia da parábola x = raizy até a reta x = y2.

Passo 6

Então, nossa integral dupla fica:
integraly=0^4 integralx=raizy^y2 (x^2 + 3y) dx , dy

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a x:
integralraizy^y2 (x^2 + 3y) dx
Integrando termo a termo:
integral x^2 dx + integral 3y , dx = x^33 + 3y x g|raizy^y2

Passo 8

Agora, substituímos os limites de x:
Para x = y2:
(y2)^33 + 3y (y2) = y^324 + 3y^22
Para x = raizy:
(raizy)^33 + 3y (raizy) = y^323 + 3y^32 = 10y^323
Calculando a diferença:
(y^324 + 3y^22) - 10y^323

Passo 9

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a y de 0 a 4:
integral0^4 (y^324 + 3y^22 - 10y^323) dy
Integrando termo a termo:
y^496 + y^3 - 10 cdot 52 y^523 g|0^4
Simplificando:
y^496 + y^3 - 25 y^523 g|0^4

Passo 10

Substituindo y = 4:
4^496 + 4^3 - 25 cdot 4^523 = 25696 + 64 - 25 cdot 323 = 83 + 64 - 8003 = 8 + 192 - 8003 = -6003 = -200
Substituindo y = 0, todos os termos são zero.

Resposta

A integral dupla vale -200.

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