Calcular a integral , onde é a região delimitada pelas curvas e .
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pelas curvas e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas, para achar essa resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Ela é limitada pelas curvas (que é uma parábola) e (que é uma reta). Para visualizar melhor, vamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam.
Passo 3
Vamos igualar as duas equações para achar os pontos de interseção:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, ou . Agora que temos os valores de , vamos achar os correspondentes de .
Passo 4
Quando , substituindo na equação :
Quando , substituindo na mesma equação:
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 5
Agora, vamos determinar quais limites usar para a integral dupla. Podemos integrar em primeiro ou em primeiro. Vamos optar por integrar em primeiro. Para isso, precisamos expressar os limites de em termos de .
Para cada entre e , varia da parábola até a reta .
Passo 6
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Integrando termo a termo:
Passo 8
Agora, substituímos os limites de :
Para :
Para :
Calculando a diferença:
Passo 9
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de a :