Passe para coordenadas polares e calcule
em que
. Faça o esboço da região de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. Além disso, precisamos desenhar a região onde vamos integrar. Vamos precisar entender de coordenadas polares e como transformar integrais duplas dessa forma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o integrando. A expressão
é igual a
, porque a raiz quadrada de
ao quadrado é
, assumindo
. Então, o integrando fica
.
Passo 3
Agora, precisamos entender a região de integração. Temos
variando de 0 a 1 e, para cada
,
varia de 0 até
. Isso forma um triângulo no primeiro quadrante, limitado pela linha
,
e
.
Passo 4
Vamos converter essa região para coordenadas polares. Em coordenadas polares,
e
. A região triangular vai de
a
(já que
corresponde a
) e
vai de 0 até
, porque na linha
, temos
, então
.
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. O integrando
fica
. E não esquecer do fator
que vem do Jacobiano na mudança de coordenadas, então a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em
:
Integrando termo a termo:
Avaliado de 0 a
:
Passo 7
Agora, a integral se reduz a:
Vamos simplificar os termos:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
-
- Para
, fazemos substituição , :
Passo 9
Agora, avaliamos de 0 a
:
Resposta
O valor da integral é
.
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Encontre a massa do sólido Q limitado por
e pelo plano
. A densidade em um ponto sólido é proporcional à distância entre o ponto e o plano
.
Calcular a integral
, onde
é a região delimitada pelas curvas
e
.
Determine um conjunto de soluçòes fundamentais e a solução geral das seguintes equacooes diferenciais:
Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a soluçāo geral das seguintes equaçōes diferenciais: