Passe para coordenadas polares e calcule em que . Faça o esboço da região de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla usando coordenadas polares. Além disso, precisamos desenhar a região onde vamos integrar. Vamos precisar entender de coordenadas polares e como transformar integrais duplas dessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o integrando. A expressão é igual a , porque a raiz quadrada de ao quadrado é , assumindo . Então, o integrando fica .

Passo 3

Agora, precisamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 até . Isso forma um triângulo no primeiro quadrante, limitado pela linha , e .

Passo 4

Vamos converter essa região para coordenadas polares. Em coordenadas polares, e . A região triangular vai de a (já que corresponde a ) e vai de 0 até , porque na linha , temos , então .

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. O integrando fica . E não esquecer do fator que vem do Jacobiano na mudança de coordenadas, então a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em :
Integrando termo a termo:
Avaliado de 0 a :

Passo 7

Agora, a integral se reduz a:
Vamos simplificar os termos:
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Para , fazemos substituição , :

Passo 9

Agora, avaliamos de 0 a :

Resposta

O valor da integral é .

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