Passe para coordenadas polares e calcule integral0^1 integral0^x raizx^2+y^2 d y d x em que a>0. Faça o esboço da região de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla usando coordenadas polares. Além disso, precisamos desenhar a região onde vamos integrar. Vamos precisar entender de coordenadas polares e como transformar integrais duplas dessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o integrando. A expressão é igual a , porque a raiz quadrada de ao quadrado é , assumindo . Então, o integrando fica .

Passo 3

Agora, precisamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 até . Isso forma um triângulo no primeiro quadrante, limitado pela linha , e .

Passo 4

Vamos converter essa região para coordenadas polares. Em coordenadas polares, e . A região triangular vai de a (já que corresponde a ) e vai de 0 até , porque na linha , temos , então .

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. O integrando integral0^pi4 integral0^1costheta (r costheta + r^2 sin^2theta) cdot r , dr , dtheta fica . E não esquecer do fator que vem do Jacobiano na mudança de coordenadas, então a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em integral0^1costheta (r costheta + r^2 sin^2theta) cdot r , dr = integral0^1costheta (r^2 costheta + r^3 sin^2theta) dr :
integral r^2 costheta , dr = costheta cdot r^33
Integrando termo a termo:
integral r^3 sin^2theta , dr = sin^2theta cdot r^44
costheta cdot (1costheta)^33 + sin^2theta cdot (1costheta)^44 = 13 cos^2theta + sin^2theta4 cos^4theta
Avaliado de 0 a :

Passo 7

Agora, a integral se reduz a:
integral0^pi4 ( 13 cos^2theta + sin^2theta4 cos^4theta ) dtheta
Vamos simplificar os termos:
1cos^2theta = sec^2theta
sin^2thetacos^4theta = tan^2theta sec^2theta
Então, a integral fica:
integral0^pi4 ( 13 sec^2theta + 14 tan^2theta sec^2theta ) dtheta

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. 14 integral u^2 , du = 14 cdot u^33 = tan^3theta12
  2. Para , fazemos substituição , :

Passo 9

Agora, avaliamos de 0 a [ 13 tantheta + tan^3theta12 ]0^pi4 = ( 13 cdot 1 + 112 cdot 1 ) - ( 0 + 0 ) = 13 + 112 = 412 + 112 = 512 :

Resposta

O valor da integral é .

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