Encontre a massa do sólido Q limitado por 4 x^2 + 4 y^2 + z^2 = 16 e pelo plano x y. A densidade em um ponto sólido é proporcional à distância entre o ponto e o plano x y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos encontrar a massa de um sólido que está limitado pela equação e pelo plano . O conteúdo principal aqui envolve geometria tridimensional e cálculo integral, especialmente integração em coordenadas cilíndricas. Além disso, a densidade em cada ponto do sólido é proporcional à distância desse ponto até o plano , que, nesse caso, corresponde à coordenada .

Passo 2

Vamos começar descrevendo a região . A equação representa um elipsoide. Podemos simplificá-la dividindo todos os termos por 16:
Isso mostra que o elipsoide tem semi-eixos de comprimento 2 nas direções e , e 4 na direção .
O plano corresponde a . Portanto, o sólido está na parte superior do elipsoide, onde .

Passo 3

A densidade em cada ponto do sólido é proporcional à distância desse ponto até o plano . A distância de um ponto até o plano é simplesmente . Como estamos considerando apenas , a densidade pode ser expressa como:
onde é uma constante de proporcionalidade.

Passo 4

Para encontrar a massa do sólido , precisamos integrar a densidade sobre toda a região . Em coordenadas cilíndricas, onde , , e , a equação do elipsoide se torna:

Passo 5

Os limites de integração em coordenadas cilíndricas serão:
  • varia de a ,
  • varia de a (já que ),
  • varia de a .

Passo 6

A massa é dada pela integral tripla da densidade sobre o sólido :
Aqui, é o fator de Jacobiano para coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos integrar primeiramente em relação a :

Passo 8

Substituindo de volta na integral:
Vamos integrar em relação a :

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

A massa do sólido é .

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