Encontre a massa do sólido Q limitado por
e pelo plano
. A densidade em um ponto sólido é proporcional à distância entre o ponto e o plano
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos encontrar a massa de um sólido
que está limitado pela equação
e pelo plano
. O conteúdo principal aqui envolve geometria tridimensional e cálculo integral, especialmente integração em coordenadas cilíndricas. Além disso, a densidade em cada ponto do sólido é proporcional à distância desse ponto até o plano
, que, nesse caso, corresponde à coordenada
.
Passo 2
Vamos começar descrevendo a região
. A equação
representa um elipsoide. Podemos simplificá-la dividindo todos os termos por 16:
Isso mostra que o elipsoide tem semi-eixos de comprimento 2 nas direções
e
, e 4 na direção
.
O plano
corresponde a
. Portanto, o sólido
está na parte superior do elipsoide, onde
.
Passo 3
A densidade
em cada ponto do sólido é proporcional à distância desse ponto até o plano
. A distância de um ponto
até o plano
é simplesmente
. Como estamos considerando apenas
, a densidade pode ser expressa como:
onde
é uma constante de proporcionalidade.
Passo 4
Para encontrar a massa do sólido
, precisamos integrar a densidade sobre toda a região
. Em coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
, a equação do elipsoide se torna:
Passo 5
Os limites de integração em coordenadas cilíndricas serão:
-
varia de a , -
varia de a (já que ), -
varia de a .
Passo 6
A massa
é dada pela integral tripla da densidade sobre o sólido
:
Aqui,
é o fator de Jacobiano para coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos integrar primeiramente em relação a
:
Passo 8
Substituindo de volta na integral:
Vamos integrar em relação a
:
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
A massa do sólido
é
.
Exercícios relacionados
Calcular a integral
, onde
é a região delimitada pelas curvas
e
.
Prove que o ponto médio do segmento de reta de
a
é
Passe para coordenadas polares e calcule
em que
. Faça o esboço da região de integração.
Determine um conjunto de soluçòes fundamentais e a solução geral das seguintes equacooes diferenciais: