Calcular a integral integral duplaD(x^2+y^2) d x d y, onde D é o domínio limitado por y=x, y=x^2

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral duplaD(x^2+y^2) dx, dy, onde D é a região limitada pelas curvas y = x e y = x^2. Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como determinar os limites de integração para a região D.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região D onde vamos integrar. As curvas que limitam D são y = x e y = x^2. Para entender melhor essa região, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas.

Passo 3

Igualamos as duas funções para encontrar onde elas se encontram:
x = x^2 x^2 - x = 0 x(x - 1) = 0 Rightarrow x = 0 ou x = 1
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos (0, 0) e (1, 1).

Passo 4

Agora, vamos esboçar as curvas para visualizar melhor a região D. A parábola y = x^2 está abaixo da reta y = x no intervalo de x = 0 a x = 1. Assim, para cada x entre 0 e 1, y varia de x^2 (inferior) até x (superior).

Passo 5

Com isso, podemos definir os limites de integração:
  • x varia de 0 a 1.
  • Para cada x, y varia de y = x^2 a y = x.

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:
integral0^1 integralx^2^x (x^2 + y^2) dy, dx

Passo 7

Vamos primeiro integrar em relação a y. A integral interna é:
integralx^2^x (x^2 + y^2) dy = integralx^2^x x^2 dy + integralx^2^x y^2 dy

Passo 8

Calculando cada parte separadamente:
  1. Para integralx^2^x x^2 dy:
x^2 integralx^2^x dy = x^2 (y) |x^2^x = x^2(x - x^2) = x^3 - x^4
  1. Para integralx^2^x y^2 dy:
integralx^2^x y^2 dy = y^33 |x^2^x = x^33 - (x^2)^33 = x^33 - x^63

Passo 9

Somando as duas partes:
x^3 - x^4 + x^33 - x^63 = 4x^33 - x^4 - x^63

Passo 10

Agora, integramos essa expressão em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 (4x^33 - x^4 - x^63) dx

Passo 11

Vamos integrar termo a termo:
  1. integral0^1 4x^33 dx = 43 cdot x^44 |0^1 = 43 cdot 14 = 13
  2. integral0^1 x^4 dx = x^55 |0^1 = 15
  3. integral0^1 x^63 dx = 13 cdot x^77 |0^1 = 13 cdot 17 = 121

Passo 12

Subtraindo e somando os resultados:
13 - 15 - 121 = 35105 - 21105 - 5105 = 35 - 21 - 5105 = 9105 = 335

Resposta

O valor da integral dupla é 335.

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