Calcular a integral , onde é o domínio limitado por

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde é a região limitada pelas curvas e . Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como determinar os limites de integração para a região .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região onde vamos integrar. As curvas que limitam são e . Para entender melhor essa região, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas.

Passo 3

Igualamos as duas funções para encontrar onde elas se encontram:
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 4

Agora, vamos esboçar as curvas para visualizar melhor a região . A parábola está abaixo da reta no intervalo de a . Assim, para cada entre 0 e 1, varia de (inferior) até (superior).

Passo 5

Com isso, podemos definir os limites de integração:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de a .

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:

Passo 7

Vamos primeiro integrar em relação a . A integral interna é:

Passo 8

Calculando cada parte separadamente:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 9

Somando as duas partes:

Passo 10

Agora, integramos essa expressão em relação a de 0 a 1:

Passo 11

Vamos integrar termo a termo:

Passo 12

Subtraindo e somando os resultados:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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© .
Onde a função é diferenciável?
Calcular a integral