Calcular a integral , onde é o domínio limitado por
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla , onde é a região limitada pelas curvas e . Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como determinar os limites de integração para a região .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região onde vamos integrar. As curvas que limitam são e . Para entender melhor essa região, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas.
Passo 3
Igualamos as duas funções para encontrar onde elas se encontram:
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos e .
Passo 4
Agora, vamos esboçar as curvas para visualizar melhor a região . A parábola está abaixo da reta no intervalo de a . Assim, para cada entre 0 e 1, varia de (inferior) até (superior).
Passo 5
Com isso, podemos definir os limites de integração:
varia de 0 a 1.
Para cada , varia de a .
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:
Passo 7
Vamos primeiro integrar em relação a . A integral interna é:
Passo 8
Calculando cada parte separadamente:
Para :
Para :
Passo 9
Somando as duas partes:
Passo 10
Agora, integramos essa expressão em relação a de 0 a 1: