Onde a função
é diferenciável?
Passo 1
Beleza, então o exercício pergunta em quais pontos a função
é diferenciável. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para descobrir isso. Precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável e analisar a derivada de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos diz a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Se a derivada existir, dizemos que a função é diferenciável nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
. Sabemos que
pode ser escrita como:
Passo 4
Vamos derivar cada parte:
- Para
, , então . - Para
, , então .
Passo 5
A questão fica no ponto
. Vamos verificar se a derivada existe nesse ponto. Calculamos o limite da derivada pela direita e pela esquerda:
- Limite da direita (
): - Limite da esquerda (
):
Passo 6
Como os limites pelas duas direções são diferentes (
), a derivada não existe em
. Portanto, a função não é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos reais, exceto em
.