Onde a função f(x) = |x| é diferenciável?

Passo 1

Beleza, então o exercício pergunta em quais pontos a função é diferenciável. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para descobrir isso. Precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável e analisar a derivada de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos diz a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Se a derivada existir, dizemos que a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de . Sabemos que pode ser escrita como:

Passo 4

Vamos derivar cada parte:
  • Para , , então .
  • Para , , então .

Passo 5

A questão fica no ponto . Vamos verificar se a derivada existe nesse ponto. Calculamos o limite da derivada pela direita e pela esquerda:
  • Limite da direita ( ):
  • Limite da esquerda ( ):

Passo 6

Como os limites pelas duas direções são diferentes ( ), a derivada não existe em . Portanto, a função não é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos reais, exceto em .

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