Calcular a integral , onde é o domínio limitado por ,

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla , onde é a região delimitada por , e . Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre como configurar e resolver integrais duplas sobre uma região definida.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região onde vamos integrar. Vamos identificar as interseções das retas que delimitam para determinar os limites de integração.
As equações são:
  1. (eixo y)
  2. (eixo x)
Vamos encontrar os pontos de interseção:
  • Interseção de com :
  • Interseção de com : Para , então
  • Interseção de com : Para , então
No entanto, não está no primeiro quadrante onde , então a região está no primeiro quadrante limitada por , e até .

Passo 3

Para configurar a integral, precisamos expressar os limites de e . Podemos integrar primeiro em relação a ou a . Neste caso, vamos integrar primeiro em relação a .
Para fixo, varia de a , já que é o ponto onde a reta intersecta o eixo .
Portanto, os limites de integração são:
  • de a
  • de a

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral com os limites de integração identificados:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a . A função a ser integrada é . Como é considerado constante na integração em relação a , a integral fica:

Passo 6

Resolvendo a integral em relação a :
Calculando:
Então:

Passo 7

Agora, temos a integral em relação a :
Vamos simplificar a expressão fracionária dividindo o polinômio no numerador pelo denominador:
Dividindo por , obtemos:
Portanto:

Passo 8

Agora, a integral fica mais simples:
Calculando cada parte:

Resposta

Somando os valores:
Então, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule o valor dos seguintes limites:
© .
Calcular a integral , onde é o domínio limitado por no primeiro quadrante.
Calcular a integral , onde é o domínio limitado por
Onde a função é diferenciável?