Calcular a integral , onde é o domínio limitado por ,
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla , onde é a região delimitada por , e . Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre como configurar e resolver integrais duplas sobre uma região definida.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região onde vamos integrar. Vamos identificar as interseções das retas que delimitam para determinar os limites de integração.
As equações são:
(eixo y)
(eixo x)
Vamos encontrar os pontos de interseção:
Interseção de com :
Interseção de com : Para , então
Interseção de com : Para , então
No entanto, não está no primeiro quadrante onde , então a região está no primeiro quadrante limitada por , e até .
Passo 3
Para configurar a integral, precisamos expressar os limites de e . Podemos integrar primeiro em relação a ou a . Neste caso, vamos integrar primeiro em relação a .
Para fixo, varia de a , já que é o ponto onde a reta intersecta o eixo .
Portanto, os limites de integração são:
de a
de a
Passo 4
Agora, vamos escrever a integral com os limites de integração identificados:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a . A função a ser integrada é . Como é considerado constante na integração em relação a , a integral fica:
Passo 6
Resolvendo a integral em relação a :
Calculando:
Então:
Passo 7
Agora, temos a integral em relação a :
Vamos simplificar a expressão fracionária dividindo o polinômio no numerador pelo denominador: