Calcular a integral integral duplaD 2 y-1x+1 d x d y, onde D é o domínio limitado por x=0, y=0, 2 x-y=4

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaD 2 y - 1x + 1 , dx , dy, onde D é a região delimitada por x = 0, y = 0 e 2x - y = 4. Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre como configurar e resolver integrais duplas sobre uma região definida.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região D onde vamos integrar. Vamos identificar as interseções das retas que delimitam D para determinar os limites de integração.
As equações são:
  1. x = 0 (eixo y)
  2. y = 0 (eixo x)
  3. 2x - y = 4
Vamos encontrar os pontos de interseção:
  • Interseção de x = 0 com y = 0: (0, 0)
  • Interseção de x = 0 com 2x - y = 4: Para x = 0, -y = 4 então y = -4
  • Interseção de y = 0 com 2x - y = 4: Para y = 0, 2x = 4 então x = 2
No entanto, y = -4 não está no primeiro quadrante onde y >= 0, então a região D está no primeiro quadrante limitada por x = 0, y = 0 e até x = 2.

Passo 3

Para configurar a integral, precisamos expressar os limites de x e y. Podemos integrar primeiro em relação a x ou a y. Neste caso, vamos integrar primeiro em relação a x.
Para y fixo, x varia de 0 a 2, já que x = 2 é o ponto onde a reta 2x - y = 4 intersecta o eixo x.
Portanto, os limites de integração são:
  • x de 0 a 2
  • y de 0 a 2x - 4

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral com os limites de integração identificados:
integral0^2 integral0^2x - 4 2y - 1x + 1 , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a y. A função a ser integrada é 2y - 1x + 1. Como x é considerado constante na integração em relação a y, a integral fica:
integral0^2x - 4 2y - 1x + 1 , dy = 1x + 1 integral0^2x - 4 (2y - 1) , dy

Passo 6

Resolvendo a integral em relação a y:
1x + 1 [ y^2 - y ]0^2x - 4 = 1x + 1 [ (2x - 4)^2 - (2x - 4) ]
Calculando:
(2x - 4)^2 = 4x^2 - 16x + 16 (2x - 4) = 2x - 4
Então:
1x + 1 [ 4x^2 - 16x + 16 - 2x + 4 ] = 1x + 1 (4x^2 - 18x + 20)

Passo 7

Agora, temos a integral em relação a x:
integral0^2 4x^2 - 18x + 20x + 1 , dx
Vamos simplificar a expressão fracionária dividindo o polinômio no numerador pelo denominador:
Dividindo 4x^2 - 18x + 20 por x + 1, obtemos:
4x^2 - 18x + 20 = (x + 1)(4x - 22) + 42
Portanto:
4x^2 - 18x + 20x + 1 = 4x - 22 + 42x + 1

Passo 8

Agora, a integral fica mais simples:
integral0^2 (4x - 22 + 42x + 1) , dx = integral0^2 4x , dx - integral0^2 22 , dx + integral0^2 42x + 1 , dx
Calculando cada parte:
integral0^2 4x , dx = 2x^2 gr|0^2 = 2(4) - 0 = 8 integral0^2 22 , dx = 22x gr|0^2 = 44 - 0 = 44 integral0^2 42x + 1 , dx = 42 ln|x + 1| gr|0^2 = 42 ln 3 - 42 ln 1 = 42 ln 3

Resposta

Somando os valores:
8 - 44 + 42 ln 3 = -36 + 42 ln 3
Então, o valor da integral é -36 + 42 ln 3.

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