Calcular a integral
, onde D é a região delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde
é a região delimitada pelas curvas
e
. Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar os limites de integração e como integrar funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
que estamos integrando. Temos duas curvas:
(uma parábola) e
(uma linha reta). Para descobrir onde elas se encontram, igualamos as duas expressões:
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora que sabemos que
varia de 0 a 2, vamos determinar os limites para
. Para cada valor de
entre 0 e 2,
varia da parábola
até a reta
. Portanto, podemos expressar a região
como:
Passo 4
Com os limites definidos, vamos escrever a integral dupla:
Agora, vamos integrar primeiro em relação a
.
Passo 5
Integrando a função
em relação a
:
Vamos calcular isso substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a
de 0 a 2:
Integrando termo a termo:
Substituindo
e
:
Passo 7
Para facilitar a soma, vamos converter tudo para denominador 15:
Resposta
O valor da integral dupla
é
.
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Considere a funçäo
e
. Verifique se integral corresponde a uma área? (a) ( 0,5 ponto) Defina o tamanho da base de cada um dos retảngulos aproximantes e divida o intervalo
em
subintervalos e represente o intervalo
como uma uniza de todos os seus subintervalos. (b) ( 0,5 ponto) Defina a altura do i-ésimo retângulo e calcule
como uma aproximaçăo. © ( 1,0 ponto) Calcule a área da integral definida usando as somas de Riemann (justifique as etapas do cálculo).
Determinar a derivada das funções:
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