Calcular a integral integral duplaD(x^3+3 y) d A, onde D é a região delimitada pelas curvas y=x^2 e y=2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é a região delimitada pelas curvas e . Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar os limites de integração e como integrar funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região x^2 = 2x que estamos integrando. Temos duas curvas: x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 x = 0 ou x = 2 (uma parábola) e (uma linha reta). Para descobrir onde elas se encontram, igualamos as duas expressões:
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos que 0 <= x <= 2 x^2 <= y <= 2x varia de 0 a 2, vamos determinar os limites para . Para cada valor de entre 0 e 2, varia da parábola até a reta . Portanto, podemos expressar a região como:

Passo 4

Com os limites definidos, vamos escrever a integral dupla:
integral duplaD(x^3 + 3 y) dA = integral0^2 integralx^2^2x (x^3 + 3y) dy , dx
Agora, vamos integrar primeiro em relação a .

Passo 5

Integrando a função integralx^2^2x (x^3 + 3y) dy = [ x^3 y + 32 y^2 ]x^2^2x em relação a = x^3(2x) + 32(2x)^2 - ( x^3(x^2) + 32(x^2)^2 ) :
= 2x^4 + 32(4x^2) - ( x^5 + 32x^4 ) = 2x^4 + 6x^2 - x^5 - 32x^4 = -x^5 + 12x^4 + 6x^2
Vamos calcular isso substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a integral0^2 ( -x^5 + 12x^4 + 6x^2 ) dx de 0 a 2:
= [ -16x^6 + 110x^5 + 2x^3 ]0^2
Integrando termo a termo:
= ( -16(64) + 110(32) + 2(8) ) - ( 0 + 0 + 0 ) = ( -646 + 3210 + 16 ) = ( -323 + 165 + 16 )
Substituindo e :

Passo 7

Para facilitar a soma, vamos converter tudo para denominador 15:
= ( -16015 + 4815 + 24015 ) = (-160 + 48 + 240)15 = 12815

Resposta

O valor da integral dupla é .

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