Calcular a integral , onde D é a região delimitada pelas curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é a região delimitada pelas curvas e . Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar os limites de integração e como integrar funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região que estamos integrando. Temos duas curvas: (uma parábola) e (uma linha reta). Para descobrir onde elas se encontram, igualamos as duas expressões:
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos que varia de 0 a 2, vamos determinar os limites para . Para cada valor de entre 0 e 2, varia da parábola até a reta . Portanto, podemos expressar a região como:

Passo 4

Com os limites definidos, vamos escrever a integral dupla:
Agora, vamos integrar primeiro em relação a .

Passo 5

Integrando a função em relação a :
Vamos calcular isso substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a de 0 a 2:
Integrando termo a termo:
Substituindo e :

Passo 7

Para facilitar a soma, vamos converter tudo para denominador 15:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Considere a funçäo e . Verifique se integral corresponde a uma área? (a) ( 0,5 ponto) Defina o tamanho da base de cada um dos retảngulos aproximantes e divida o intervalo em subintervalos e represente o intervalo como uma uniza de todos os seus subintervalos. (b) ( 0,5 ponto) Defina a altura do i-ésimo retângulo e calcule como uma aproximaçăo. © ( 1,0 ponto) Calcule a área da integral definida usando as somas de Riemann (justifique as etapas do cálculo).
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