Considere a funçäo e . Verifique se integral corresponde a uma área? (a) ( 0,5 ponto) Defina o tamanho da base de cada um dos retảngulos aproximantes e divida o intervalo em subintervalos e represente o intervalo como uma uniza de todos os seus subintervalos. (b) ( 0,5 ponto) Defina a altura do i-ésimo retângulo e calcule como uma aproximaçăo. © ( 1,0 ponto) Calcule a área da integral definida usando as somas de Riemann (justifique as etapas do cálculo).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para trabalharmos com a função e calcular a integral definida de a . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais definidas e somas de Riemann. Vamos precisar dividir o intervalo em subintervalos, criar retângulos para aproximar a área sob a curva e usar somas de Riemann para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o tamanho da base de cada retângulo. O intervalo tem comprimento total de . Se dividirmos esse intervalo em subintervalos iguais, o tamanho da base de cada retângulo, que chamaremos de , será:
Então, a base de cada retângulo é .

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo em subintervalos. Cada subintervalo terá comprimento . Podemos representar o intervalo como a união de todos esses subintervalos:
Onde cada ponto é dado por:

Passo 4

Agora, vamos definir a altura do -ésimo retângulo. A altura é determinada pela função avaliada em um ponto específico dentro do subintervalo. Vamos usar o ponto da direita, então a altura será:
A área do -ésimo retângulo, , será a base vezes a altura:
Simplificando:

Passo 5

Finalmente, para calcular a área da integral definida usando as somas de Riemann, somamos todas as áreas dos retângulos de até :
Á
Agora, vamos calcular essa soma:
Somando tudo:
Á
Tomando o limite quando tende ao infinito:

Resposta

A área da integral definida é igual a unidades de área.

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Considere que um paraquedista de massa é solto no instante com velocidade inicial nula e cai na direção vertical sob a ação da força gravitacional e da força de atrito do tipo . Dica: observe o sinal da velocidade para definir o sinal da força. Dica: o método de frações parciais é útil para esse caso.
Mostre que a velocidade limite de queda é
Determine a diferencial da função.
©
Determinar a derivada das funções:
Calcular a integral , onde D é a região delimitada pelas curvas e .