Considere a funçäo
e
. Verifique se integral corresponde a uma área? (a) ( 0,5 ponto) Defina o tamanho da base de cada um dos retảngulos aproximantes e divida o intervalo
em
subintervalos e represente o intervalo
como uma uniza de todos os seus subintervalos. (b) ( 0,5 ponto) Defina a altura do i-ésimo retângulo e calcule
como uma aproximaçăo. © ( 1,0 ponto) Calcule a área da integral definida usando as somas de Riemann (justifique as etapas do cálculo).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para trabalharmos com a função
e calcular a integral definida de
a
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais definidas e somas de Riemann. Vamos precisar dividir o intervalo
em subintervalos, criar retângulos para aproximar a área sob a curva e usar somas de Riemann para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o tamanho da base de cada retângulo. O intervalo
tem comprimento total de
. Se dividirmos esse intervalo em
subintervalos iguais, o tamanho da base de cada retângulo, que chamaremos de
, será:
Então, a base de cada retângulo é
.
Passo 3
Agora, vamos dividir o intervalo
em
subintervalos. Cada subintervalo terá comprimento
. Podemos representar o intervalo
como a união de todos esses subintervalos:
Onde cada ponto
é dado por:
Passo 4
Agora, vamos definir a altura do
-ésimo retângulo. A altura é determinada pela função
avaliada em um ponto específico dentro do subintervalo. Vamos usar o ponto da direita, então a altura será:
A área do
-ésimo retângulo,
, será a base vezes a altura:
Simplificando:
Passo 5
Finalmente, para calcular a área da integral definida usando as somas de Riemann, somamos todas as áreas dos retângulos de
até
:
Agora, vamos calcular essa soma:
Somando tudo:
Tomando o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
A área da integral definida
é igual a
unidades de área.
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Considere que um paraquedista de massa
é solto no instante
com velocidade inicial nula e cai na direção vertical sob a ação da força gravitacional e da força de atrito do tipo
. Dica: observe o sinal da velocidade para definir o sinal da força. Dica: o método de frações parciais é útil para esse caso.
Mostre que a velocidade limite de queda é
Mostre que a velocidade limite de queda é
Determine a diferencial da função.
©
©
Determinar a derivada das funções:
Calcular a integral
, onde D é a região delimitada pelas curvas
e
.