Considere a funçäo f(x)=12 x^2 e integral-3^-1 f(x) d x. Verifique se integral corresponde a uma área? (a) ( 0,5 ponto) Defina o tamanho da base de cada um dos retảngulos aproximantes e divida o intervalo [-3,-1] em n subintervalos e represente o intervalo [a, b] como uma uniza de todos os seus subintervalos. (b) ( 0,5 ponto) Defina a altura do i-ésimo retângulo e calcule Ai como uma aproximaçăo. © ( 1,0 ponto) Calcule a área da integral definida usando as somas de Riemann (justifique as etapas do cálculo).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para trabalharmos com a função e calcular a integral definida de a . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais definidas e somas de Riemann. Vamos precisar dividir o intervalo em subintervalos, criar retângulos para aproximar a área sob a curva e usar somas de Riemann para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o tamanho da base de cada retângulo. O intervalo De tem comprimento total de . Se dividirmos esse intervalo em subintervalos iguais, o tamanho da base de cada retângulo, que chamaremos de , será:
Então, a base de cada retângulo é .

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo [-3, -1] = cupi=1^n [xi-1, xi] em xi = a + iDe subintervalos. Cada subintervalo terá comprimento . Podemos representar o intervalo como a união de todos esses subintervalos:
Onde cada ponto é dado por:

Passo 4

Agora, vamos definir a altura do f(xi) = 12(xi)^2 = 12(-3 + 2in)^2 -ésimo retângulo. A altura é determinada pela função Ai = De avaliada em um ponto específico dentro do subintervalo. Vamos usar o ponto da direita, então a altura será:
Ai = 1n(9 - 12in + 4i^2n^2)
A área do -ésimo retângulo, , será a base vezes a altura:
Simplificando:

Passo 5

Finalmente, para calcular a área da integral definida usando as somas de Riemann, somamos todas as áreas dos retângulos de Área approx sumi=1^n Ai = sumi=1^n 1n(9 - 12in + 4i^2n^2) até sumi=1^n 9 cdot 1n = 9 :
sumi=1^n -12in^2 = -12n^2 cdot n(n+1)2 = -12(n+1)2n = -6(n+1)n Á
Agora, vamos calcular essa soma:
sumi=1^n 4i^2n^3 = 4n^3 cdot n(n+1)(2n+1)6 = 4(n+1)(2n+1)6n^2 = 2(n+1)(2n+1)3n^2
Área approx 9 - 6(n+1)n + 2(n+1)(2n+1)3n^2
limn to infty (9 - 6(n+1)n + 2(n+1)(2n+1)3n^2) = 9 - 6 + 43 = 3 + 43 = 133
Somando tudo:
Á
Tomando o limite quando tende ao infinito:

Resposta

A área da integral definida é igual a unidades de área.

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