Determinar a derivada das funções:

Passo 1

Então, temos a função e precisamos encontrar a derivada dela. Estamos entrando no mundo do Cálculo, especificamente no tópico de derivadas, que nos ajuda a entender como uma função muda à medida que muda. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de derivada e como aplicá-la a funções constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação da função naquele ponto, ou seja, como o valor da função está mudando em relação a . Matematicamente, a derivada de em relação a é definida como:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na fórmula da derivada:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro do limite:

Passo 5

Como o limite de 0 quando tende a 0 é simplesmente 0, concluímos que:

Resposta

A derivada da função é .

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Calcular a integral , onde D é a região delimitada pelas curvas e .
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Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:

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