Calcule as integrais utilizando substituição simples.
integral x^4 e^-x^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é a integral de em relação a . O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a substituição simples, uma técnica de integração que facilita resolver integrais complicadas. Vamos precisar identificar uma parte da função para substituir e simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Observando a função u = -x^5 , percebemos que o expoente pode ser uma boa candidata para substituição. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -5x^4 em relação a du = -5x^4 dx , ou seja, , para substituir na integral. Calculando a derivada:
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar x^4 dx = -15 du em termos de . Da equação anterior, podemos rearranjar para:

Passo 5

Agora, substituímos integral x^4 e^-x^5 dx = integral e^u (-15) du e -15 integral e^u du na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 6

A integral de -15 e^u + C é simplesmente , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos -15 e^-x^5 + C de volta para :

Resposta

A integral de -15 e^-x^5 + C é:

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