Calcule as integrais utilizando substituição simples.
integral x^2 raiz3 x+2 d x;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a usando o método de substituição simples. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrando funções que envolvem polinômios e raízes.

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. A ideia é simplificar a integral escolhendo uma parte da função para ser nossa nova variável, o que facilita a integração.
Vamos definir:
u = 3x + 2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3 em relação a du = 3 , dx para substituir dx = du3 na integral:

Passo 4

Também precisamos expressar u = 3x + 2 em termos de 3x = u - 2 . Da nossa substituição inicial:
x = u - 23

Passo 5

Agora, substituímos integral x^2 raiz3x + 2 , dx = integral ( u - 23 )^2 raizu cdot du3 e na integral original:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
( u - 23 )^2 = (u - 2)^29
Então:
integral (u - 2)^29 cdot raizu cdot du3 = 127 integral (u - 2)^2 cdot u^1/2 , du

Passo 7

Expandimos (u - 2)^2 = u^2 - 4u + 4 :
127 integral (u^2 - 4u + 4) cdot u^1/2 , du
Então a integral fica:

Passo 8

Multiplicamos cada termo:
u^2 cdot u^1/2 = u^5/2
-4u cdot u^1/2 = -4u^3/2
4 cdot u^1/2 = 4u^1/2
Então:
127 integral ( u^5/2 - 4u^3/2 + 4u^1/2 ) , du

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral u^5/2 , du = u^7/27/2 = 27u^7/2
integral -4u^3/2 , du = -4 cdot u^5/25/2 = -85u^5/2
integral 4u^1/2 , du = 4 cdot u^3/23/2 = 83u^3/2
Portanto:
127 ( 27u^7/2 - 85u^5/2 + 83u^3/2 ) + C

Passo 10

Substituímos 127 ( 27(3x + 2)^7/2 - 85(3x + 2)^5/2 + 83(3x + 2)^3/2 ) + C de volta na expressão:

Resposta

A integral de 2189(3x + 2)^7/2 - 8135(3x + 2)^5/2 + 881(3x + 2)^3/2 + C é:

Exercícios relacionados