Calcular integral duplaR f(x, y) d x d y, em que: f(x, y)=xx^2+y^2 R=(x, y) mid 1 <= x <= 2,0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular uma integral dupla da função sobre a região que é um retângulo definido por e . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas sobre regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla com os limites de integração definidos. A integral que precisamos calcular é:
integral duplaR xx^2 + y^2 , dx , dy = integralx=1^2 integraly=0^1 xx^2 + y^2 , dy , dx
Aqui, decidimos integrar primeiro em relação a de 0 a 1 e depois em relação a de 1 a 2.

Passo 3

Vamos começar integrando a função integral xx^2 + y^2 , dy em relação a . Para isso, observar que:
Aqui, podemos tratar como uma constante em relação a .

Passo 4

A integral de integral xx^2 + y^2 , dy = arctan( yx ) + C em relação a arctan( yx ) |0^1 = arctan( 1x ) - arctan(0) = arctan( 1x ) pode ser resolvida usando a fórmula de integrais envolvendo fun��ões do tipo , cuja antiderivada é .
Então, temos:
Aplicando os limites de integração de a :

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral1^2 arctan( 1x ) , dx de 1 a 2:
ddx ( x arctan( 1x ) ) = arctan( 1x ) - 1x^2 + 1
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição. Vamos definir integral arctan( 1x ) , dx = x arctan( 1x ) - integral 1x^2 + 1 , dx = x arctan( 1x ) - arctan(x) + C , então [ x arctan( 1x ) - arctan(x) ]1^2 = ( 2 arctan( 12 ) - arctan(2) ) - ( 1 arctan(1) - arctan(1) ) ou 2 arctan( 12 ) - arctan(2) - ( arctan(1) - arctan(1) ) = 2 arctan( 12 ) - arctan(2) . Porém, essa substituição pode complicar um pouco, então vamos optar por integrar diretamente:
Sabemos que:
Portanto,
Aplicando os limites de 1 a 2:
Simplificando:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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