campo vetorial gradiente
Determine o campo vetorial gradiente
da função
.
Determine o campo vetorial gradiente
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o campo vetorial gradiente, denotado por
, da função
. O gradiente é essencial em cálculo multivariável porque ele aponta na direção de maior crescimento da função e nos dá informações sobre inclinação. Para encontrar o gradiente, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. A derivada parcial em relação a
significa que tratamos
e
como constantes enquanto derivamos em relação a
.
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui,
e
são tratados como constantes.
Passo 4
Por último, calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Tratando
e
como constantes:
Resposta
Juntando todas as derivadas parciais, o campo vetorial gradiente da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule a área da região
do plano
definida por
4 e
.
Respostas: 1. (a) (b)
©
(d)
(e)
(f) (g)
(h)
. (a)
(b)
©
(d) (e)
(f)
(g)
(h)
Respostas: 1. (a)
(d)
Prove usando indução que se
pontos distintos sobre um círculo são conectados consecutivamente com segmentos de reta, então a soma dos ângulos internos do polígono resultante é (
2)
.
Calcular
, em que:
;
Calcular
, em que:
.