Calcular
, em que:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a função
é
e a região
é definida por
e
. Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que permite calcular o volume sob a superfície da função
sobre a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez. A região
é retangular, então podemos escrever:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos focar na integral interna, que é em relação a
:
Como
é tratado como uma constante nessa integração, podemos tirar ele de fora:
Passo 4
Para resolver
, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Integrando
:
Então, avaliando os limites:
Passo 5
Agora, voltamos à integral externa, que ficou assim:
Vamos integrar
em relação a
. Sabemos que:
Aqui,
, então:
Passo 6
Aplicando os limites de integração de
a
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A integral dupla
vale
.
Exercícios relacionados
campo vetorial gradiente
Determine o campo vetorial gradiente da função
.
Determine o campo vetorial gradiente
Calcule a área da região
do plano
definida por
4 e
.
Respostas: 1. (a) (b)
©
(d)
(e)
(f) (g)
(h)
. (a)
(b)
©
(d) (e)
(f)
(g)
(h)
Respostas: 1. (a)
(d)
Calcular
, em que:
.
Negue as seguintes proposições:
(n) .
(n)