Calcular
I=integral duplaR e^x^2+y^2 d x d y
Onde R é a coroa circular do plano x y definida pelas equações x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9 Resp.: pi(e^9-e^4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
I = integral duplaR e^x^2+y^2 , dx , dy
onde é a coroa circular definida por e . Aqui, vamos usar o conceito de coordenadas polares, que é ótimo para áreas circulares. Precisamos entender como converter a integral para coordenadas polares e depois calculá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações de x = rcostheta e y = rsintheta para coordenadas polares. Sabemos que:
r^2 = 4 Rightarrow r = 2
Então, r^2 = 9 Rightarrow r = 3 . Isso significa que as equações que definem ficam:
e
Portanto, é a região entre os círculos de raio 2 e 3.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Lembrando que:
dx , dy = r , dr , dtheta
Então, a integral I = integral0^2pi integral2^3 e^r^2 cdot r , dr , dtheta fica:
Aqui, varia de 0 a (a volta completa) e varia de 2 a 3.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral2^3 e^r^2 cdot r , dr :
12 integralu=4^9 e^u , du = 12 [ e^u ]4^9 = 12 (e^9 - e^4)
Fazendo uma substituição simples, seja , então ou . Assim, a integral vira:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a integral0^2pi 12 (e^9 - e^4) , dtheta = 12 (e^9 - e^4) cdot integral0^2pi dtheta = 12 (e^9 - e^4) cdot 2pi = pi (e^9 - e^4) :

Resposta

pi(e^9-e^4)

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