Calcular
Onde R é a coroa circular do plano definida pelas equações e Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
onde é a coroa circular definida por e . Aqui, vamos usar o conceito de coordenadas polares, que é ótimo para áreas circulares. Precisamos entender como converter a integral para coordenadas polares e depois calculá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações de para coordenadas polares. Sabemos que:
Então, . Isso significa que as equações que definem ficam:
e
Portanto, é a região entre os círculos de raio 2 e 3.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Lembrando que:
Então, a integral fica:
Aqui, varia de 0 a (a volta completa) e varia de 2 a 3.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Fazendo uma substituição simples, seja , então ou . Assim, a integral vira:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :

Resposta

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Use coordenadas polares para calcular a sendo R a região delimitada
Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
Calcular
Onde R é o círculo centrado na origem e raio 2. Resp.:
Calcular
Onde T é a porção da esfera que está dentro do cilindro . Resp.